Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular a transformada de Fourier das funções a seguir.
f(x)=x^2(1+x^2)^2.

Passo 1

A questão pede a transformada de Fourier da função f(x)=x^2(1+x^2)^2. O conteúdo é “Transformada de Fourier” e vamos precisar usar transformadas conhecidas de funções racionais e a propriedade de linearidade (decomposição).

Passo 2

Reescrevemos f(x) em termos de funções cujas transformadas conhecemos. Observe que
x^2(1+x^2)^2=1+x^2-1(1+x^2)^2=11+x^2-1(1+x^2)^2

Passo 3

Lembramos as transformadas de Fourier padrão (usando a convenção F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega xdx):
Ftfrac11+x^2(omega)=pi e^-|omega|,
Ftfrac1(1+x^2)^2(omega)=pi2(1+|omega|)e^-|omega|

Passo 4

Usando linearidade da transformada, temos:
F(omega)=Ff(x)(omega)=pi e^-|omega|-pi2(1+|omega|)e^-|omega|

Passo 5

Fatoramos pi e^-|omega| e simplificamos:
F(omega)=pi e^-|omega|l[1-1+|omega|2r]=pi2e^-|omega|(1-|omega|)

Resposta

F(omega)=pi2,e^-|omega|,(1-|omega|).

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