Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
f(x)=2^cos (x)

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação que estudamos, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais com base diferente de $ e $. Precisamos entender como derivar funções que têm expoentes que também são funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $. Aqui, temos uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é $ \cos(x) $. A regra para derivar uma função do tipo $ a^{g(x)} $ é:
f(x) = 2^cos(x)
onde:
  • $ a $ é uma constante,
  • $ g(x) $ é uma função de $ x $,
  • $ \ln(a) $ é o logaritmo natural de $ a $,
  • $ g’(x) $ é a derivada de $ g(x) $.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $:
  • A base $ a $ é 2.
  • A função no expoente $ g(x) $ é $ \cos(x) $.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ g(x) = \cos(x) $:
f(x) = 2^cos(x)

Passo 4

Agora, substituímos os valores na regra da derivada de $ a^{g(x)} $:
a^g(x)
Simplificando, podemos reescrever a expressão:
f'(x) = 2^cos(x) cdot ln(2) cdot (-sin(x))

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -2^cos(x) cdot ln(2) cdot sin(x)

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