Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $. Para isso, vamos usar as regras de derivação que estudamos, especificamente a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais com base diferente de $ e $. Precisamos entender como derivar funções que têm expoentes que também são funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $. Aqui, temos uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é $ \cos(x) $. A regra para derivar uma função do tipo $ a^{g(x)} $ é:
onde:
- $ a $ é uma constante,
- $ g(x) $ é uma função de $ x $,
- $ \ln(a) $ é o logaritmo natural de $ a $,
- $ g’(x) $ é a derivada de $ g(x) $.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função $ f(x) = 2^{\cos(x)} $:
- A base $ a $ é 2.
- A função no expoente $ g(x) $ é $ \cos(x) $.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ g(x) = \cos(x) $:
Passo 4
Agora, substituímos os valores na regra da derivada de $ a^{g(x)} $:
Simplificando, podemos reescrever a expressão:
Resposta
A derivada da função é: