Seja f é diferenciável em x=-2? E em x=2? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = 2 - x^2, & se x < -2, x, & se |x| <= 2, 2x - 6, & se x > 2
A pergunta é: essa função é diferenciável nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto e como verificar isso para funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em $ x = a $ se a derivada existe nesse ponto. Isso significa que o limite da taxa de variação da função existe quando nos aproximamos de $ a $ por ambos os lados (esquerdo e direito).
Então, para verificar se $ f(x) $ é diferenciável em $ x = -2 $ e $ x = 2 $, precisamos:
Verificar se a função é contínua nesses pontos.
Calcular as derivadas laterais em cada ponto e ver se elas são iguais.
Passo 3
Vamos começar com $ x = -2 $.
Continuidade em $ x = -2 $:
Para a função ser diferenciável, primeiro ela precisa ser contínua. Vamos ver os valores da função quando nos aproximamos de $ -2 $ por valores menores que $ -2 $ e por valores maiores que $ -2 $.
Para $ x < -2 $:
x = -2
Quando $ x $ se aproxima de $ -2 $, $ f(-2) = 2 - (-2)^{2} = 2 - 4 = -2 $.
Para $ |x| \leq 2 $:
x = -2
Quando $ x $ se aproxima de $ -2 $, $ f(-2) = -2 $.
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em $ -2 $, a função é contínua nesse ponto.
Derivadas laterais em $ x = -2 $:
Agora, vamos calcular as derivadas à esquerda e à direita de $ -2 $.
Para $ x < -2 $:
A derivada de $ f(x) = 2 - x^{2} $ é:
-2
Então, quando $ x $ se aproxima de $ -2 $ pela esquerda: -2
Para $ |x| \leq 2 $:
A derivada de $ f(x) = x $ é:
-2
Então, quando $ x $ se aproxima de $ -2 $ pela direita: x < -2
Como as derivadas laterais não são iguais ($ 4 \neq 1 $), a função não é diferenciável em $ x = -2 $.
Passo 4
Agora, vamos analisar $ x = 2 $.
Continuidade em $ x = 2 $:
Primeiro, verificamos a continuidade.
Para $ |x| \leq 2 $:
x = 2
Quando $ x $ se aproxima de $ 2 $, $ f(2) = 2 $.
Para $ x > 2 $:
x = 2
Quando $ x $ se aproxima de $ 2 $, ( f(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2 $$
Os limites laterais não são iguais ($ 2 \neq -2 $), então a função não é contínua em $ x = 2 $. Se a função não for contínua, ela automaticamente não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x) $ não é diferenciável em $ x = -2 $ e em $ x = 2 $.