(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Use a definição das transformadas para provar que
F(f)(x)=F^-1(f)(-x)

Passo 1

O exercício pede para provar a relação de reciprocidade entre a transformada de Fourier e sua inversa, ou seja, mostrar que F(f)(x)=F^-1(f)(-x). O conteúdo principal envolve a definição das transformadas de Fourier direta e inversa com normalização simétrica e manipulação de exponenciais complexas.

Passo 2

Vamos anotar as definições usadas (normalização simétrica):
F(f)(x)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^-ixt,dt
F^-1(f)(x)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^ixt,dt

Passo 3

Agora computamos F^-1(f)(-x) trocando x por -x na definição inversa:
F^-1(f)(-x)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^i t(-x),dt
Mas e^i t(-x)=e^-ixt.

Passo 4

Substituindo na integral obtemos
F^-1(f)(-x)=1raiz2piintegral-infty^inftyf(t)e^-ixt,dt
e esse é exatamente o valor de F(f)(x) pela definição direta, concluindo a prova.

Resposta

F(f)(x)=F^-1(f)(-x)

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