(Relação de Reciprocidade para a Transformada de Fourier)
Use a definição das transformadas para provar que
Use a definição das transformadas para provar que
Passo 1
O exercício pede para provar a relação de reciprocidade entre a transformada de Fourier e sua inversa, ou seja, mostrar que
. O conteúdo principal envolve a definição das transformadas de Fourier direta e inversa com normalização simétrica e manipulação de exponenciais complexas.
Passo 2
Vamos anotar as definições usadas (normalização simétrica):
Passo 3
Agora computamos
trocando
por
na definição inversa:
Mas
.
Passo 4
Substituindo na integral obtemos
e esse é exatamente o valor de
pela definição direta, concluindo a prova.