Defina a derivada de uma função
num ponto
. Interprete-a. E em seguida calcule
, pela definição, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para definirmos a derivada de uma função $ f $ num ponto $ p $ e interpretarmos o que isso significa. Depois, temos que calcular a derivada de $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ no ponto $ x = 2 $ usando a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é a derivada de uma função num ponto $ p $. A derivada $ f’§ $ representa a taxa de variação de $ f $ naquele ponto. Matematicamente, a derivada é definida como o limite:
Isso significa que estamos olhando para o comportamento da função $ f $ bem próximo de $ p $, vendo como $ f(x) $ muda em relação a $ x $.
Passo 3
Interpretando a derivada, ela basicamente nos diz quão rápido a função está crescendo ou diminuindo naquele ponto específico. Se a derivada for positiva, a função está aumentando; se for negativa, está diminuindo. Se for zero, pode indicar um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa definição para calcular $ f’(2) $ onde $ f(x) = \sqrt[3]{x} $. Substituindo na fórmula da derivada:
Passo 5
Para resolver esse limite, podemos usar uma técnica de racionalização ou reconhecer que estamos lidando com a derivada de uma função potência. Sabemos que $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $, e a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Aplicando isso diretamente:
Então, avaliando em $ x = 2 $:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt[3]{x} $ no ponto $ x = 2 $ é $ f’(2) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{4}} $, aproximadamente igual a 0,132.