Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função $ f(x) = \operatorname{tgh}\left(\left(4 x{2}-3\right){2}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, mais especificamente aplicando regras de derivação como a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e usar a derivada da tangente hiperbólica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções dentro da função composta. Temos $ f(x) = \operatorname{tgh}(u) $, onde $ u = \left(4 x^{2} - 3\right)^{2} $. Para derivar $ f(x) $, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa $ \operatorname{tgh}(u) $. A derivada da tangente hiperbólica é:
Aqui, $ \operatorname{sech}(u) $ é a função secante hiperbólica.
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna $ u = \left(4 x^{2} - 3\right)^{2} $. Usando a regra do poder e a regra da cadeia novamente:
Derivando $ 4 x^{2} - 3 $:
Então,
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: