Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = x \cdot \arctan\left(x - \sqrt{1 + x^{2}}\right) $. Isso envolve conteúdo de derivadas de funções compostas e regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar dessas ferramentas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função $ f(x) $ é um produto de duas funções:
- $ u(x) = x $
- $ v(x) = \arctan\left(x - \sqrt{1 + x^{2}}\right) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Primeiro, a derivada de $ u(x) = x $ é simples:
Agora, vamos calcular $ v’(x) $. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, porque temos uma função composta dentro da arctangente. Vamos chamar o interior da arctangente de $ g(x) $:
Então, $ v(x) = \arctan(g(x)) $, e a derivada de $ \arctan(g(x)) $ é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar $ g’(x) $. A função $ g(x) = x - \sqrt{1 + x^{2}} $ é a diferença de duas funções, então sua derivada é a diferença das derivadas:
A derivada de $ x $ é 1, e a derivada de $ \sqrt{1 + x^{2}} $ usa a regra da potência e a regra da cadeia:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos $ g(x) $ e $ g’(x) $ na expressão para $ v’(x) $:
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, vamos expandir o denominador:
Simplificando:
Passo 6
Agora, juntando tudo de volta na expressão de $ f’(x) $:
Substituindo $ v’(x) $ que encontramos:
Essa expressão pode ser simplificada ainda mais, mas já temos a derivada completa.
Resposta
A derivada da função é: