Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
f(x)=x arctg(x-raiz1+x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = x \cdot \arctan\left(x - \sqrt{1 + x^{2}}\right) $. Isso envolve conteúdo de derivadas de funções compostas e regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos precisar dessas ferramentas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função $ f(x) $ é um produto de duas funções:
  • $ u(x) = x $
  • $ v(x) = \arctan\left(x - \sqrt{1 + x^{2}}\right) $
Para derivar $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, vamos usar a regra do produto, que diz que:
f(x)

Passo 3

Vamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $ separadamente.
Primeiro, a derivada de $ u(x) = x $ é simples:
u'(x)
Agora, vamos calcular $ v’(x) $. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia, porque temos uma função composta dentro da arctangente. Vamos chamar o interior da arctangente de $ g(x) $:
v'(x)
Então, $ v(x) = \arctan(g(x)) $, e a derivada de $ \arctan(g(x)) $ é:
u(x) = x

Passo 4

Agora, vamos encontrar $ g’(x) $. A função $ g(x) = x - \sqrt{1 + x^{2}} $ é a diferença de duas funções, então sua derivada é a diferença das derivadas:
g'(x)
A derivada de $ x $ é 1, e a derivada de $ \sqrt{1 + x^{2}} $ usa a regra da potência e a regra da cadeia:
g(x) = x - raiz1 + x^2
Então:
g'(x) = ddx(x) - ddx(raiz1 + x^2)

Passo 5

Agora, substituímos $ g(x) $ e $ g’(x) $ na expressão para $ v’(x) $:
g(x)
Vamos simplificar um pouco essa expressão. Primeiro, vamos expandir o denominador:
g'(x)
Simplificando:
v'(x)

Passo 6

Agora, juntando tudo de volta na expressão de $ f’(x) $:
f'(x)
Substituindo $ v’(x) $ que encontramos:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 1 cdot arctan(x - raiz1 + x^2) + x cdot v'(x)
Essa expressão pode ser simplificada ainda mais, mas já temos a derivada completa.

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = arctan(x - raiz1 + x^2) + x(1 - dfracxraiz1 + x^2)2 + 2x^2 - 2xraiz1 + x^2

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