Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função interna ao logaritmo é
. - Precisamos encontrar
, a derivada de em termos de . - Não há mais dados numéricos; devemos usar regras de derivação (regra da cadeia, derivada de logaritmo em base
, e derivadas das funções trigonométricas inversas e trigonométricas).
Passo 2
Relembrando a fórmula da derivada do logaritmo em base
: se
com
, então
Aqui
é o logaritmo natural da base
. Essa fórmula vem da mudança de base
e da regra da cadeia aplicada a
.
Passo 3
Definimos a função interna
Então, aplicando a fórmula do Passo 2, obtemos a forma geral
Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos derivar cada parcela de
separadamente usando a regra da cadeia quando necessário.
Primeiro, a derivada da função inversa secante: a tabela de derivadas fornece
válida quando
. Aqui
e
é sua derivada. Essa fórmula vem da derivação implícita da relação
com
.
No nosso caso
. Observação importante:
para todo
, então
e a fórmula acima pode ser usada sem a barra de valor absoluto (pois já sabemos que é positiva).
Passo 5
Calculemos
para
:
Aplicando a fórmula da derivada da arcsecante:
Expliquei: substituí
e
na fórmula do Passo 4.
Passo 6
Agora a segunda parcela:
. Usamos a regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - Tomando
, temos .
Portanto
Passo 7
Somando as derivadas das parcelas, obtemos
:
Passo 8
Substituímos
e
na fórmula do Passo 3 para obter
:
Se quiser, podemos lembrar que
, mas não é necessário simplificar mais.