Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
g) f(x)=\log _{8}\left(\operatorname{sec} ^{-1}\left(x^{2}+2\right)+\cos \left(x^{3}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\log_{8}\!\big(\operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)+\cos(x^{3})\big).
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função interna ao logaritmo é \operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)+\cos(x^{3}).
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em termos de x.
  • Não há mais dados numéricos; devemos usar regras de derivação (regra da cadeia, derivada de logaritmo em base a, e derivadas das funções trigonométricas inversas e trigonométricas).

Passo 2

Relembrando a fórmula da derivada do logaritmo em base a: se F(x)=\log_{a}(u(x)) com u(x)>0, então
F'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a}.
Aqui \ln a é o logaritmo natural da base a. Essa fórmula vem da mudança de base \log_a u = \dfrac{\ln u}{\ln a} e da regra da cadeia aplicada a \ln u.

Passo 3

Definimos a função interna
u(x)=\operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)+\cos(x^{3}).
Então, aplicando a fórmula do Passo 2, obtemos a forma geral
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)\ln 8}.
Agora precisamos calcular u'(x).

Passo 4

Vamos derivar cada parcela de u(x) separadamente usando a regra da cadeia quando necessário.
Primeiro, a derivada da função inversa secante: a tabela de derivadas fornece
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{-1} v\big)=\frac{v'}{|v|\sqrt{v^{2}-1}},
válida quando |v|>1. Aqui v=v(x) e v' é sua derivada. Essa fórmula vem da derivação implícita da relação \operatorname{sec}(y)=v com y=\operatorname{sec}^{-1}v.
No nosso caso v(x)=x^{2}+2. Observação importante: x^{2}+2\ge 2>1 para todo x, então |v(x)|=x^{2}+2 e a fórmula acima pode ser usada sem a barra de valor absoluto (pois já sabemos que é positiva).

Passo 5

Calculemos v'(x) para v(x)=x^{2}+2:
v'(x)=2x.
Aplicando a fórmula da derivada da arcsecante:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)\big) = \frac{2x}{(x^{2}+2)\sqrt{(x^{2}+2)^{2}-1}}.
Expliquei: substituí v'=2x e |v|=x^{2}+2 na fórmula do Passo 4.

Passo 6

Agora a segunda parcela: \cos(x^{3}). Usamos a regra da cadeia:
  • A derivada de \cos t em relação a t é -\sin t.
  • Tomando t=x^{3}, temos t'=3x^{2}.
    Portanto
\frac{d}{dx}\big(\cos(x^{3})\big) = -\sin(x^{3})\cdot 3x^{2} = -3x^{2}\sin(x^{3}).

Passo 7

Somando as derivadas das parcelas, obtemos u'(x):
u'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+2)\sqrt{(x^{2}+2)^{2}-1}} - 3x^{2}\sin(x^{3}).

Passo 8

Substituímos u(x) e u'(x) na fórmula do Passo 3 para obter f'(x):
f'(x)=\frac{\dfrac{2x}{(x^{2}+2)\sqrt{(x^{2}+2)^{2}-1}} - 3x^{2}\sin(x^{3})}{\big(\operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)+\cos(x^{3})\big)\ln 8}.
Se quiser, podemos lembrar que \ln 8=3\ln 2, mas não é necessário simplificar mais.

Resposta

f'(x)=\frac{\dfrac{2x}{(x^{2}+2)\sqrt{(x^{2}+2)^{2}-1}} - 3x^{2}\sin(x^{3})}{\big(\operatorname{sec}^{-1}(x^{2}+2)+\cos(x^{3})\big)\ln 8}.

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