Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
d)
d)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações relevantes dadas:
- A função é a arcosecante (inversa da função secante).
- Devemos fornecer a derivada e indicar o domínio onde ela existe (ou seja, onde faz sentido diferenciá‑la).
- Para valores reais, a arcosecante está definida para
, mas a derivada existe apenas para .
Passo 2
Vamos começar lembrando a definição da função inversa: se
então, por definição de inversa,
Essa é a relação que vamos usar para diferenciar implicitamente. Vou explicar tudo com calma: a ideia é escrever
em função de
indiretamente (pela equação acima) e então diferenciar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar a relação
em relação a
. Aqui usamos a regra da cadeia e a derivada da secante. Lembrete didático:
- A derivada de
em relação a é . - Pela regra da cadeia, a derivada de
em relação a é .
Diferenciando ambos os lados:
Passo 4
Isolando
:
Até aqui temos a derivada em termos de
. Precisamos reescrevê‑la em termos de
, porque a função original está em
.
Passo 5
Usamos agora a relação
para substituir na expressão. Precisamos também escrever
em função de
. Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo
obtemos
logo
Aqui tem um ponto importante: o sinal
aparece porque a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa — precisamos escolher o sinal coerente com a definição principal de
.
Passo 6
Agora explico por que surge o valor absoluto na forma final. A arcosecante principal costuma ser escolhida com imagem
em
. Nessa escolha:
- Para
tem com , então . - Para
tem , então .
Calculamos o produto
substituindo
e o sinal adequado de
:
- Se
: . - Se
: .
Em ambos os casos o valor absoluto aparece porque
Portanto
Passo 7
Conclusões e domínio final:
- A derivada de
é
válida para
(onde a raiz e o denominador fazem sentido e a função é diferenciável).
- Forma equivalente, escrita por partes: