Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
d) f(x)=\operatorname{sec} ^{-1}(x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \;f(x)=\operatorname{sec}^{-1}(x)\;.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a arcosecante (inversa da função secante).
  • Devemos fornecer a derivada e indicar o domínio onde ela existe (ou seja, onde faz sentido diferenciá‑la).
  • Para valores reais, a arcosecante está definida para |x|\ge 1, mas a derivada existe apenas para |x|>1.

Passo 2

Vamos começar lembrando a definição da função inversa: se \;y=\operatorname{sec}^{-1}(x)\; então, por definição de inversa,
\operatorname{sec}(y)=x.
Essa é a relação que vamos usar para diferenciar implicitamente. Vou explicar tudo com calma: a ideia é escrever y em função de x indiretamente (pela equação acima) e então diferenciar ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Vamos diferenciar a relação \;\operatorname{sec}(y)=x\; em relação a x. Aqui usamos a regra da cadeia e a derivada da secante. Lembrete didático:
  • A derivada de \;\operatorname{sec}(u)\; em relação a u é \;\operatorname{sec}(u)\tan(u)\;.
  • Pela regra da cadeia, a derivada de \operatorname{sec}(y) em relação a x é \;\operatorname{sec}(y)\tan(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}\;.
Diferenciando ambos os lados:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(y)\big)=\frac{d}{dx}(x)
\operatorname{sec}(y)\tan(y)\cdot \frac{dy}{dx}=1.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}(y)\tan(y)}.
Até aqui temos a derivada em termos de y. Precisamos reescrevê‑la em termos de x, porque a função original está em x.

Passo 5

Usamos agora a relação \;\operatorname{sec}(y)=x\; para substituir na expressão. Precisamos também escrever \tan(y) em função de x. Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
\tan^2(y)=\operatorname{sec}^2(y)-1.
Substituindo \operatorname{sec}(y)=x obtemos
\tan^2(y)=x^2-1,
logo
\tan(y)=\pm\sqrt{x^2-1}.
Aqui tem um ponto importante: o sinal \pm aparece porque a raiz quadrada pode ser positiva ou negativa — precisamos escolher o sinal coerente com a definição principal de \operatorname{sec}^{-1}.

Passo 6

Agora explico por que surge o valor absoluto na forma final. A arcosecante principal costuma ser escolhida com imagem y em [0,\pi]\setminus\{\tfrac{\pi}{2}\}. Nessa escolha:
  • Para x>1 tem y\in[0,\tfrac{\pi}{2})\cup(\tfrac{\pi}{2},\pi) com \tan(y)\ge 0, então \tan(y)=+\sqrt{x^2-1}.
  • Para x<-1 tem \tan(y)\le 0, então \tan(y)=-\sqrt{x^2-1}.
Calculamos o produto \operatorname{sec}(y)\tan(y) substituindo \operatorname{sec}(y)=x e o sinal adequado de \tan(y):
  • Se x>1: \operatorname{sec}(y)\tan(y)=x\cdot\sqrt{x^2-1}.
  • Se x<-1: \operatorname{sec}(y)\tan(y)=x\cdot\big(-\sqrt{x^2-1}\big)=-x\sqrt{x^2-1}.
Em ambos os casos o valor absoluto aparece porque
\operatorname{sec}(y)\tan(y)=|x|\sqrt{x^2-1}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}(y)\tan(y)}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.

Passo 7

Conclusões e domínio final:
  • A derivada de \;f(x)=\operatorname{sec}^{-1}(x)\; é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{-1}(x)\big)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},
válida para |x|>1 (onde a raiz e o denominador fazem sentido e a função é diferenciável).
  • Forma equivalente, escrita por partes:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{-1}(x)\big)= \begin{cases} \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}, & x>1,\\[6pt] -\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}, & x<-1. \end{cases}]

Resposta

\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^{-1}(x)\big)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},\qquad |x|>1.

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