Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
c) f(x)=x^{2} \operatorname{cossec}^{-1}(2 x+3)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=x^{2}\,\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3).\n
Informações dadas: a função é o produto de x^{2} por \operatorname{cossec}^{-1}(2x+3) (a função cossecante inversa aplicada à função linear 2x+3).\n
Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.
Passo 2
Estratégia: como temos um produto, vamos usar a regra do produto; dentro dela aparece a derivada de \operatorname{cossec}^{-1} composta com 2x+3, então vamos usar a regra da cadeia. Antes de aplicar, relembremos as fórmulas necessárias.\n
Regra do produto (para u(x)v(x)): \frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\n
Regra da cadeia (para g(h(x))): \frac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x).
Passo 3
Tabela / fórmula da derivada da cossecante inversa: seja u uma função de x. A derivada da função \operatorname{cossec}^{-1}(u) em relação a x é (usar a forma com valor absoluto): \frac{d}{dx}\operatorname{cossec}^{-1}\bigl(u(x)\bigr)=-\frac{u'(x)}{\bigl|u(x)\bigr|\sqrt{u(x)^{2}-1}}.\n
Breve explicação dessa fórmula (por que aparece o valor absoluto): se y=\operatorname{cossec}^{-1}(u) então \csc y=u. Diferenciando \csc y obtemos -\csc y\cot y\,y'=u'. Isolando y' dá y'=-u'/(\csc y\cot y). Substituindo \csc y=u e |\cot y|=\sqrt{\csc^{2}y-1}=\sqrt{u^{2}-1} aparece o valor absoluto em u ao escrever \csc y como u, daí a forma com |u|.
Passo 4
Aplicando a regra do produto à nossa função \displaystyle f(x)=x^{2}\,\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3): tome u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3). Então u'(x)=2x
Aplicando a regra da cadeia para v'(x): aqui u(x)=2x+3 (vou renomear a função interna como w(x)=2x+3 só para ficar organizado). Temos w'(x)=2. Usando a fórmula da cossecante inversa do Passo 3: v'(x)=-\frac{w'(x)}{\bigl|w(x)\bigr|\sqrt{w(x)^{2}-1}}=-\frac{2}{\bigl|2x+3\bigr|\sqrt{(2x+3)^{2}-1}}.
Passo 6
Agora substituímos tudo na regra do produto: f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\n
Substituindo u'(x)=2x, u(x)=x^{2}, v(x)=\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3) e v'(x) do passo anterior, obtemos f'(x)=2x\;\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3)+x^{2}\left(-\frac{2}{\bigl|2x+3\bigr|\sqrt{(2x+3)^{2}-1}}\right).
Passo 7
Simplificando o sinal e o fator 2 no segundo termo, escrevemos a derivada de forma mais compacta: f'(x)=2x\,\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3)-\frac{2x^{2}}{\bigl|2x+3\bigr|\sqrt{(2x+3)^{2}-1}}.
Passo 8
Se quiser, pode fatorar 2x para ver outra forma útil para cálculo mental: f'(x)=2x\left(\operatorname{cossec}^{-1}(2x+3)-\frac{x}{\bigl|2x+3\bigr|\sqrt{(2x+3)^{2}-1}}\right).