Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
está escrita como
de uma função racional
. Note que essa expressão não está definida em
(denominador zero). O objetivo é achar
para os
onde
está definida.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função arco-tangente. Essas fórmulas são fundamentais e simples:
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa que derivamos a função externa
avaliada na interna
e multiplicamos pela derivada da interna.
- Derivada de
(tabela de derivadas das inversas trigonométricas):
onde
e
é a derivada de
em relação a
.
Aqui .
Aqui
Também precisaremos da regra do quociente para derivar
: se
então
Passo 3
Calculemos
e
. Definimos
Aplicando a regra do quociente com
e
:
Então
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da derivada da
:
Vamos simplificar o denominador racional:
Calculamos os termos no numerador dessa fração:
Substituindo na expressão de
:
As
cancelam, sobrando
Passo 5
Breve comentário didático/alternativo (útil para fazer rápido na prova): existe uma identidade trigonométrica que facilita entender o resultado sem tanta conta. Como
e usando a fórmula da tangente da diferença,
Logo, para
,
Derivando ambos os lados obtemos imediatamente
Isso confirma a simplificação feita antes. Lembre-se que a função original não está definida em
, então a derivada só faz sentido para
.