Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
h) f(x)=\arctan \left(\frac{1-x}{1+x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\arctan\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right).
Informações relevantes dadas:
\,f está escrita como \arctan de uma função racional \displaystyle \frac{1-x}{1+x}. Note que essa expressão não está definida em \,x=-1 (denominador zero). O objetivo é achar f'(x) para os x onde f está definida.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada da função arco-tangente. Essas fórmulas são fundamentais e simples:
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Isto significa que derivamos a função externa g avaliada na interna h(x) e multiplicamos pela derivada da interna.
  • Derivada de \arctan(u) (tabela de derivadas das inversas trigonométricas):
\frac{d}{dx}\arctan(u)=\frac{u'}{1+u^{2}},
onde u=u(x) e u' é a derivada de u em relação a x.
Aqui u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}.
Também precisaremos da regra do quociente para derivar u: se u=\dfrac{p}{q} então
u'=\frac{p' q - p q'}{q^{2}}.

Passo 3

Calculemos u(x) e u'(x). Definimos
u(x)=\frac{1-x}{1+x}.
Aplicando a regra do quociente com p(x)=1-x e q(x)=1+x:
p'(x)=-1,\qquad q'(x)=1.
Então
u'(x)=\frac{(-1)(1+x)-(1-x)(1)}{(1+x)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
(-1)(1+x)-(1-x)= -1 - x -1 + x = -2.
Portanto
u'(x)=\frac{-2}{(1+x)^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada da \arctan:
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}=\frac{-2/(1+x)^{2}}{1+\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{2}}.
Vamos simplificar o denominador racional:
1+\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}=\frac{(1+x)^{2}+(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}.
Calculamos os termos no numerador dessa fração:
(1+x)^{2}+(1-x)^{2}=(1+2x+x^{2})+(1-2x+x^{2})=2+2x^{2}=2(1+x^{2}).
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\frac{-2/(1+x)^{2}}{\big(2(1+x^{2})\big)/(1+x)^{2}}.
As (1+x)^{2} cancelam, sobrando
f'(x)=\frac{-2}{2(1+x^{2})}=-\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Breve comentário didático/alternativo (útil para fazer rápido na prova): existe uma identidade trigonométrica que facilita entender o resultado sem tanta conta. Como \tan(\pi/4)=1 e usando a fórmula da tangente da diferença,
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}-\arctan x\right)=\frac{1-\tan(\arctan x)}{1+ \tan(\arctan x)}=\frac{1-x}{1+x}.
Logo, para x\neq -1,
\arctan\!\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{\pi}{4}-\arctan x.
Derivando ambos os lados obtemos imediatamente
f'(x)=0-\frac{1}{1+x^{2}}=-\frac{1}{1+x^{2}}.
Isso confirma a simplificação feita antes. Lembre-se que a função original não está definida em x=-1, então a derivada só faz sentido para x\neq -1.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{1+x^{2}},\quad x\neq -1

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