Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
k) f(x)=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\ln\!\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações relevantes: a função é um logaritmo natural de uma soma de funções racionais; é preciso derivar f em pontos onde ela está definida (ou seja, onde o argumento do logaritmo é positivo e x\neq0). Não há outras perguntas no enunciado.

Passo 2

Vamos simplificar o argumento do logaritmo antes de derivar, porque isso ajuda a organizar as contas. Somando as frações temos
\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{x+1}{x^{2}}.
Ou seja, podemos reescrever
f(x)=\ln\!\left(\frac{x+1}{x^{2}}\right).

Passo 3

Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a derivada de uma composição f(x)=\ln(u(x)) é dada pela regra da cadeia como
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)},
onde u(x) é a função dentro do logaritmo. Aqui u(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}}. Essa fórmula vem do fato de que a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t, e depois multiplicamos pela derivada de t=u(x) (regra da cadeia). Em palavras: derive o interno e divida pelo interno.

Passo 4

Agora calculemos u'(x). Podemos usar a forma já simplificada u(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}} ou escrever como potências:
u(x)=x^{-1}+x^{-2}.
Derivando termo a termo (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}), obtemos
u'(x)=-1\cdot x^{-2}-2\cdot x^{-3}=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}.

Passo 5

Vamos juntar os termos de u'(x) sobre um denominador comum x^{3}:
u'(x)=-\frac{x}{x^{3}}-\frac{2}{x^{3}}=-\frac{x+2}{x^{3}}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{x+2}{x^{3}}}{\dfrac{x+1}{x^{2}}}.
Fazendo a divisão de frações (multiplicar pelo recíproco), obtemos
f'(x)=-\frac{x+2}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2}}{x+1}.

Passo 7

Simplificando a expressão anterior: x^{2}/x^{3}=1/x. Portanto
f'(x)=-\frac{x+2}{x(x+1)}.
Essa é uma forma bastante compacta e correta para a derivada.

Passo 8

Observações sobre domínio e validade: a expressão da derivada só vale onde f está definida. Como simplificamos o argumento para \dfrac{x+1}{x^{2}}, para que o logaritmo exista precisamos de \dfrac{x+1}{x^{2}}>0 e x\neq0. Como x^{2}>0 para x\neq0, a condição reduz-se a x+1>0, ou seja x>-1, com x\neq0. Assim o domínio de f (e onde a derivada acima é válida) é x\in(-1,0)\cup(0,\infty).

Resposta

f'(x)=-\frac{x+2}{x(x+1)}

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