Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
k)
k)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes: a função é um logaritmo natural de uma soma de funções racionais; é preciso derivar
em pontos onde ela está definida (ou seja, onde o argumento do logaritmo é positivo e
). Não há outras perguntas no enunciado.
Passo 2
Vamos simplificar o argumento do logaritmo antes de derivar, porque isso ajuda a organizar as contas. Somando as frações temos
Ou seja, podemos reescrever
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que vamos usar): a derivada de uma composição
é dada pela regra da cadeia como
onde
é a função dentro do logaritmo. Aqui
. Essa fórmula vem do fato de que a derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
(regra da cadeia). Em palavras: derive o interno e divida pelo interno.
Passo 4
Agora calculemos
. Podemos usar a forma já simplificada
ou escrever como potências:
Derivando termo a termo (regra da potência:
), obtemos
Passo 5
Vamos juntar os termos de
sobre um denominador comum
:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo:
Fazendo a divisão de frações (multiplicar pelo recíproco), obtemos
Passo 7
Simplificando a expressão anterior:
. Portanto
Essa é uma forma bastante compacta e correta para a derivada.
Passo 8
Observações sobre domínio e validade: a expressão da derivada só vale onde
está definida. Como simplificamos o argumento para
, para que o logaritmo exista precisamos de
e
. Como
para
, a condição reduz-se a
, ou seja
, com
. Assim o domínio de
(e onde a derivada acima é válida) é
.