Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
c) f(x)=x^{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle f(x)=x^{\sin x}.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A função está escrita com a variável tanto na base quanto no expoente.
  • Para que a função seja real e possamos aplicar logaritmo natural sem problemas, precisamos de \displaystyle x>0 (caso contrário x^{\sin x} pode não ser real ou não estar bem definida).
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Ideia da técnica (derivação logarítmica) e por que usar:
Quando temos uma função da forma \displaystyle g(x)^{h(x)} com base positiva, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados para transformar o expoente em produto. Isso simplifica a diferenciação, porque em vez de diferenciar diretamente uma potência com expoente dependente de x, diferenciamos um produto.
Exemplo rápido (apenas para intuir): se y=x^x, então \ln y = x\ln x e fica mais fácil diferenciar do que tentar aplicar regra de potência diretamente.

Passo 3

Aplicando a derivação logarítmica ao nosso problema: defino
y = f(x) = x^{\sin x}.
Tomando logaritmo natural dos dois lados (válido porque x>0):
\ln y = \sin x \cdot \ln x.
Aqui \ln é o logaritmo natural; \sin x e \ln x são funções de x e agora estão em produto, o que facilita usar a regra do produto ao diferenciar.

Passo 4

Diferencio implicitamente em relação a x ambos os lados da igualdade \ln y = \sin x \ln x.
  • Derivada do lado esquerdo: usar a regra da cadeia para \ln y. Se y=y(x), então
\frac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\frac{y'}{y}.
(Explicando: a derivada de \ln(u) é u'/u. Aqui u=y(x), então vem y'/y.)
  • Derivada do lado direito: é um produto \sin x \cdot \ln x. Pela regra do produto, se u(x)=\sin x e v(x)=\ln x, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v + uv'.
Calculando as derivadas básicas:
u' = (\sin x)' = \cos x, \qquad v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big(\sin x \ln x\big)=\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}.
Juntando as duas derivadas:
\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}.

Passo 5

Isolo y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).
Lembro que y=x^{\sin x}, então substituo de volta:
y' = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right).

Passo 6

Podemos, se quisermos, escrever a expressão em uma forma alternativa distribuída:
y' = x^{\sin x}\cos x\ln x + x^{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x} = x^{\sin x}\cos x\ln x + x^{\sin x-1}\sin x.
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada costuma ser mais compacta e clara.

Resposta

f'(x)=x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)

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