Use derivação logarítmica para calcular as derivadas das funções a seguir:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A função está escrita com a variável tanto na base quanto no expoente.
- Para que a função seja real e possamos aplicar logaritmo natural sem problemas, precisamos de
(caso contrário pode não ser real ou não estar bem definida). - Objetivo: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Ideia da técnica (derivação logarítmica) e por que usar:
Quando temos uma função da forma com base positiva, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados para transformar o expoente em produto. Isso simplifica a diferenciação, porque em vez de diferenciar diretamente uma potência com expoente dependente de
, diferenciamos um produto.
Exemplo rápido (apenas para intuir): se , então
e fica mais fácil diferenciar do que tentar aplicar regra de potência diretamente.
Quando temos uma função da forma
Exemplo rápido (apenas para intuir): se
Passo 3
Aplicando a derivação logarítmica ao nosso problema: defino
Tomando logaritmo natural dos dois lados (válido porque
):
Aqui
é o logaritmo natural;
e
são funções de
e agora estão em produto, o que facilita usar a regra do produto ao diferenciar.
Passo 4
Diferencio implicitamente em relação a
ambos os lados da igualdade
.
- Derivada do lado esquerdo: usar a regra da cadeia para
. Se , então
(Explicando: a derivada de
é
. Aqui
, então vem
.)
- Derivada do lado direito: é um produto
. Pela regra do produto, se e , então
Calculando as derivadas básicas:
Portanto
Juntando as duas derivadas:
Passo 5
Isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Lembro que
, então substituo de volta:
Passo 6
Podemos, se quisermos, escrever a expressão em uma forma alternativa distribuída:
Ambas as formas são equivalentes; a forma fatorada costuma ser mais compacta e clara.