Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
i) f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^{3}}{\cos x+x^{2}}\right)

Passo 1

Enunciado: Calcular a derivada da função f(x)=\cot^{-1}\!\bigg(\dfrac{1-x^{3}}{\cos x + x^{2}}\bigg).
O que o enunciado pede: encontrar f'(x).
Informações dadas que vamos usar: a função composta f(x)=\cot^{-1}(u(x)) com u(x)=\dfrac{1-x^{3}}{\cos x + x^{2}}. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Vamos identificar a regra geral que se aplica aqui (explicada de forma simples): quando temos uma função composta f(x)=g(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso, g(t)=\cot^{-1}(t) e u(x)=\dfrac{1-x^{3}}{\cos x + x^{2}}. Precisamos, portanto, de duas coisas: (1) a derivada de g(t)=\cot^{-1}(t) em relação a t, e (2) a derivada u'(x).
Fórmula da derivada da função arco-cotangente (tabela de derivadas das inversas trigonométricas):
\frac{d}{dt}\cot^{-1}(t)=-\frac{1}{1+t^{2}}.
Isso significa que, pela regra da cadeia,
f'(x)=-\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.

Passo 3

Definimos u(x) explicitamente e calculamos as derivadas das partes que compõem u.
Definição:
u(x)=\frac{N(x)}{D(x)},\qquad N(x)=1-x^{3},\quad D(x)=\cos x + x^{2}.
Derivadas de N e D:
N'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{3})=-3x^{2},
D'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x + x^{2})=-\sin x + 2x.
(Recorde rápido: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x e \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.)

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para u=N/D,
u'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
Aplicando as funções que temos:
u'(x)=\frac{(-3x^{2})(\cos x + x^{2})-(1-x^{3})(- \sin x + 2x)}{(\cos x + x^{2})^{2}}.
Denotando o numerador por A(x) para simplificar a escrita:
A(x)=(-3x^{2})(\cos x + x^{2})-(1-x^{3})(- \sin x + 2x),
então
u'(x)=\frac{A(x)}{(\cos x + x^{2})^{2}}.

Passo 5

Substituímos u'(x) na fórmula da derivada de f:
f'(x)=-\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}=-\frac{\dfrac{A(x)}{(\cos x + x^{2})^{2}}}{1+\left(\dfrac{1-x^{3}}{\cos x + x^{2}}\right)^{2}}.
Agora fazemos uma simplificação algébrica importante: escrever 1+u(x)^{2} com denominador comum
1+u(x)^{2}=1+\frac{N(x)^{2}}{D(x)^{2}}=\frac{D(x)^{2}+N(x)^{2}}{D(x)^{2}}.
Assim,
f'(x)=-\frac{\dfrac{A(x)}{D(x)^{2}}}{\dfrac{D(x)^{2}+N(x)^{2}}{D(x)^{2}}=-\frac{A(x)}{D(x)^{2}}\cdot\frac{D(x)^{2}}{D(x)^{2}+N(x)^{2}}.
Os D(x)^{2} cancelam, ficando
f'(x)=-\frac{A(x)}{D(x)^{2}+N(x)^{2}}.

Passo 6

Vamos simplificar o sinal do numerador -A(x) para deixar a expressão mais agradável. Lembrando
A(x)=(-3x^{2})D(x)-N(x)D'(x),
então
- A(x)=3x^{2}D(x)+N(x)D'(x).
Substituindo N(x) e D(x) e D'(x), obtemos o numerador simplificado:
- A(x)=3x^{2}(\cos x + x^{2})+(1-x^{3})(- \sin x + 2x).

Passo 7

Reescrevendo tudo, a derivada final fica
f'(x)=\frac{3x^{2}(\cos x + x^{2})+(1-x^{3})(- \sin x + 2x)}{(\cos x + x^{2})^{2}+(1-x^{3})^{2}}.
Se quiser, pode distribuir os sinais no segundo termo do numerador para ficar mais explícito:
(1-x^{3})(- \sin x + 2x)= - (1-x^{3})\sin x + 2x(1-x^{3}),
mas não é necessário para considerar que a expressão está correta e simplificada o suficiente para a prova.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}(\cos x + x^{2})+(1-x^{3})(- \sin x + 2x)}{(\cos x + x^{2})^{2}+(1-x^{3})^{2}}

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