Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
i)
i)
Passo 1
Enunciado: Calcular a derivada da função
.
O que o enunciado pede: encontrar
.
Informações dadas que vamos usar: a função composta
com
. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Vamos identificar a regra geral que se aplica aqui (explicada de forma simples): quando temos uma função composta
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
No nosso caso,
e
. Precisamos, portanto, de duas coisas: (1) a derivada de
em relação a
, e (2) a derivada
.
Fórmula da derivada da função arco-cotangente (tabela de derivadas das inversas trigonométricas):
Isso significa que, pela regra da cadeia,
Passo 3
Definimos
explicitamente e calculamos as derivadas das partes que compõem
.
Definição:
Derivadas de
e
:
(Recorde rápido:
e
.)
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aplicando as funções que temos:
Denotando o numerador por
para simplificar a escrita:
então
Passo 5
Substituímos
na fórmula da derivada de
:
Agora fazemos uma simplificação algébrica importante: escrever
com denominador comum
Assim,
Os
cancelam, ficando
Passo 6
Vamos simplificar o sinal do numerador
para deixar a expressão mais agradável. Lembrando
então
Substituindo
e
e
, obtemos o numerador simplificado:
Passo 7
Reescrevendo tudo, a derivada final fica
Se quiser, pode distribuir os sinais no segundo termo do numerador para ficar mais explícito:
mas não é necessário para considerar que a expressão está correta e simplificada o suficiente para a prova.