Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O argumento do logaritmo é
, que exige . Como e só é zero em , a função está definida para .
Passo 2
Fórmula útil (explicação e motivo): para uma função composta
com
, a derivada do logaritmo na base
,
, é
Por que isso vale? Porque
. Diferenciando,
e pela regra da cadeia
. Juntando, vem a fórmula acima.
Aqui: e
. Vou usar essa fórmula passo a passo.
Aqui:
Passo 3
Calcular
para
.
Regra usada: a derivada de é
e a derivada de uma constante multiplicando é a constante vezes a derivada:
Regra usada: a derivada de
Passo 4
Aplicar a fórmula do logaritmo com
,
e
:
Agora simplificar a fração: divida numerador e denominador por
:
Passo 5
Método alternativo (útil na prova): usar propriedades do logaritmo para separar fatores:
Derivando termo a termo: a constante
some e
, então
mesmo resultado. Essa forma às vezes torna a derivação mental mais rápida na prova.
Passo 6
Domínio de validade da derivada: a expressão
está bem definida para
, que é exatamente o domínio da função original.