Calcule as derivadas das funções a seguir:
Y=\log _{2} 3 x^{4}\

Passo 1

O enunciado dá a função Y=\log_{2}(3x^{4}) e pede para calcular a(s) derivada(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é Y=\log_{2}(3x^{4}).
  • O argumento do logaritmo é 3x^{4}, que exige 3x^{4}>0. Como x^{4}\ge0 e só é zero em x=0, a função está definida para x\neq0.

Passo 2

Fórmula útil (explicação e motivo): para uma função composta u(x) com u(x)>0, a derivada do logaritmo na base a>0, a\neq1, é
\frac{d}{dx}\log_{a}\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Por que isso vale? Porque \log_{a}u=\dfrac{\ln u}{\ln a}. Diferenciando,
\frac{d}{dx}\log_{a}u=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d}{dx}\ln u
e pela regra da cadeia \dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}. Juntando, vem a fórmula acima.
Aqui: u(x)=3x^{4} e a=2. Vou usar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular u'(x) para u(x)=3x^{4}.
Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de uma constante multiplicando é a constante vezes a derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{4}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=3\cdot 4x^{3}=12x^{3}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do logaritmo com u(x)=3x^{4}, u'(x)=12x^{3} e \ln a=\ln 2:
Y'=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 2}=\frac{12x^{3}}{3x^{4}\,\ln 2}.
Agora simplificar a fração: divida numerador e denominador por 3x^{3}:
Y'=\frac{12}{3}\cdot\frac{x^{3}}{x^{4}}\cdot\frac{1}{\ln 2}=4\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln 2}=\frac{4}{x\ln 2}.

Passo 5

Método alternativo (útil na prova): usar propriedades do logaritmo para separar fatores:
\log_{2}(3x^{4})=\log_{2}3+\log_{2}(x^{4})=\log_{2}3+4\log_{2}x.
Derivando termo a termo: a constante \log_{2}3 some e \dfrac{d}{dx}\log_{2}x=\dfrac{1}{x\ln 2}, então
Y' = 0 + 4\cdot\frac{1}{x\ln 2}=\frac{4}{x\ln 2},
mesmo resultado. Essa forma às vezes torna a derivação mental mais rápida na prova.

Passo 6

Domínio de validade da derivada: a expressão Y'=\dfrac{4}{x\ln 2} está bem definida para x\neq0, que é exatamente o domínio da função original.

Resposta

\displaystyle Y'=\frac{4}{x\ln 2}

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