Calcule as derivadas das funções a seguir:
y=x^{2} e^{x}\

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=x^{2}e^{x}\, e pede para calcular a derivada em relação a x.
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas funções dependentes de x: uma é x^{2} e a outra é e^{x}.
  • Queremos \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar (enunciada e explicada): produto de funções.
Sejam u(x) e v(x) funções diferenciáveis. A derivada do produto u(x)v(x) é dada pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
O que isso diz em palavras: para derivar um produto, deriva-se a primeira mantendo a segunda, e soma-se ao produto da primeira pela derivada da segunda. Cada termo corresponde à contribuição da variação de uma das funções enquanto a outra fica fixa.

Passo 3

Identificar as funções do produto no nosso caso:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{x}.

Passo 4

Calcular as derivadas individuais u'(x) e v'(x) e explicar por que.
  • Para u(x)=x^{2} usamos a regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando com n=2:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Explicação curta: multiplicamos pela potência e diminuímos o expoente em 1.
  • Para v(x)=e^{x} vale a propriedade especial da exponencial natural: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Logo
v'(x)=e^{x}.
Explicação curta: a função exponencial de base e tem a propriedade de ser igual à sua própria derivada.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados anteriores. Substituindo u,u',v,v' na fórmula:
\frac{dy}{dx}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x)\,e^{x}+x^{2}\,e^{x}.

Passo 6

Simplificar a expressão fatorando o que for comum para deixar numa forma mais compacta e prática para usar na prova:
Fatorando e^{x} em comum temos
\frac{dy}{dx}=e^{x}\bigl(2x+x^{2}\bigr).
Pode-se também escrever factorizando x:
\frac{dy}{dx}=x e^{x}\bigl(x+2\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática para avaliar em um exercício.

Resposta

y'=e^{x}\bigl(x^{2}+2x\bigr)

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