Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada em relação a
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é produto de duas funções dependentes de
: uma é e a outra é . - Queremos
, ou seja, a taxa de variação de em relação a .
Passo 2
Regra que vamos usar (enunciada e explicada): produto de funções.
Sejam e
funções diferenciáveis. A derivada do produto
é dada pela regra do produto:
Sejam
O que isso diz em palavras: para derivar um produto, deriva-se a primeira mantendo a segunda, e soma-se ao produto da primeira pela derivada da segunda. Cada termo corresponde à contribuição da variação de uma das funções enquanto a outra fica fixa.
Passo 3
Identificar as funções do produto no nosso caso:
Passo 4
Calcular as derivadas individuais
e
e explicar por que.
- Para
usamos a regra do poder (power rule): . Aplicando com :
Explicação curta: multiplicamos pela potência e diminuímos o expoente em 1.
- Para
vale a propriedade especial da exponencial natural: . Logo
Explicação curta: a função exponencial de base
tem a propriedade de ser igual à sua própria derivada.
Passo 5
Aplicar a regra do produto com os resultados anteriores. Substituindo
na fórmula:
Passo 6
Simplificar a expressão fatorando o que for comum para deixar numa forma mais compacta e prática para usar na prova:
Fatorando em comum temos
Fatorando
Pode-se também escrever factorizando
:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática para avaliar em um exercício.