Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão dentro do log envolve uma fração e uma raiz quadrada.
- É necessário cuidar do domínio: a raiz exige
e o argumento do log deve ser positivo. Assim, a função está definida para .
Passo 2
Primeiro passo algébrico: usar propriedades do log para simplificar a expressão antes de derivar. Lembre-se destas duas identidades úteis:
-
. -
e .
Aplicando em
:
Passo 3
Agora, regra de derivação para log composto: se
então, pelo efeito da regra da cadeia,
Explicando de forma simples: a derivada de
é
multiplicada pela derivada de
.
Aplicando termo a termo em
:
- Para
: aqui , então e - Para
: é constante vezes log. Primeiro a derivada de é (pois ), então
Passo 4
Juntando as derivadas dos dois termos, obtemos a forma não-combinada de
:
Lembrete prático: aqui ainda usamos o domínio
para garantir que não dividimos por zero.
Passo 5
Agora simplificamos combinando em uma única fração. Primeiro coloque os dois termos sobre o mesmo denominador comum. O denominador comum é
. Transformando cada parcela:
Subtraindo:
Passo 6
Calcule o numerador cuidadosamente:
Portanto a expressão simplificada da derivada é