Calcule as derivadas das funções a seguir:
\mathrm{Y}=\ln \left(\frac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right)\

Passo 1

O enunciado fornece a função
Y=\ln\!\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x-2}}\right)
e pede para calcular a derivada Y'.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do log envolve uma fração e uma raiz quadrada.
  • É necessário cuidar do domínio: a raiz exige x-2\ge 0 e o argumento do log deve ser positivo. Assim, a função está definida para x>2.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: usar propriedades do log para simplificar a expressão antes de derivar. Lembre-se destas duas identidades úteis:
  • \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B.
  • \sqrt{u}=u^{1/2} e \ln(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln u.
Aplicando em Y:
Y=\ln(x+1)-\ln\!\big((x-2)^{1/2}\big)=\ln(x+1)-\tfrac{1}{2}\ln(x-2).

Passo 3

Agora, regra de derivação para log composto: se g(x)=\ln(u(x)) então, pelo efeito da regra da cadeia,
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando de forma simples: a derivada de \ln u é 1/u multiplicada pela derivada de u.
Aplicando termo a termo em Y=\ln(x+1)-\tfrac{1}{2}\ln(x-2):
  • Para \ln(x+1): aqui u(x)=x+1, então u'(x)=1 e \frac{d}{dx}\ln(x+1)=\frac{1}{x+1}.
  • Para \tfrac{1}{2}\ln(x-2): é constante vezes log. Primeiro a derivada de \ln(x-2) é \dfrac{1}{x-2} (pois (x-2)'=1), então \frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}\ln(x-2)\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2(x-2)}.

Passo 4

Juntando as derivadas dos dois termos, obtemos a forma não-combinada de Y':
Y'=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2(x-2)}.
Lembrete prático: aqui ainda usamos o domínio x>2 para garantir que não dividimos por zero.

Passo 5

Agora simplificamos combinando em uma única fração. Primeiro coloque os dois termos sobre o mesmo denominador comum. O denominador comum é 2(x+1)(x-2). Transformando cada parcela:
\frac{1}{x+1}=\frac{2(x-2)}{2(x+1)(x-2)}, \qquad \frac{1}{2(x-2)}=\frac{x+1}{2(x+1)(x-2)}.
Subtraindo:
Y'=\frac{2(x-2)}{2(x+1)(x-2)}-\frac{x+1}{2(x+1)(x-2)} =\frac{2(x-2)-(x+1)}{2(x+1)(x-2)}.

Passo 6

Calcule o numerador cuidadosamente:
2(x-2)-(x+1)=2x-4-x-1=(x-5).
Portanto a expressão simplificada da derivada é
Y'=\frac{x-5}{2(x+1)(x-2)}.

Resposta

Y'=\dfrac{x-5}{2(x+1)(x-2)}

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