Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
. Interpreto aqui as notações trigonométricas usuais em LaTeX, ou seja:
O que é pedido: calcular a derivada
usando a regra da cadeia.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável independente é
. - A função é uma composição de três funções trigonométricas: primeiro
, depois aplicada ao resultado, e por fim . - Objetivo: aplicar a regra da cadeia corretamente e mostrar o passo a passo.
Passo 2
Lembrete didático: regra da cadeia (explicação simples e amigável).
- Se
, então a derivada é
- Em palavras: derivar a função de fora, avaliá-la na função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro. Dá para repetir isso quantas vezes a composição tiver — é só ir descendo os níveis.
Exemplo curto para fixar: se
, então
e
. Assim
Viu? Primeiro derivou
que vira
avaliado em
, depois multiplicou pela derivada de
.
Passo 3
Identificar claramente os níveis da composição para aplicar a regra da cadeia sem confusão. Vamos definir funções internas:
Aqui:
-
é a variável independente. -
é a primeira função interna, . -
é a segunda função interna, . -
é a função externa, .
Essa organização em camadas ajuda muito a não se perder quando multiplicamos as derivadas.
Passo 4
Derivar a camada externa em relação à camada imediatamente interna:
- Derivada de
em relação a :
Explicação: a derivada de
em relação a
é
. Aqui
.
Passo 5
Derivar a camada do meio em relação à camada mais interna:
- Derivada de
em relação a :
Explicação: a derivada de
em relação a
é
. Aqui
.
Passo 6
Derivar a camada mais interna em relação a
:
- Derivada de
em relação a :
Explicação: a derivada de
é
. Lembrando que
, então
.
Passo 7
Aplicar a regra da cadeia multiplicando as derivadas de cada camada (sem ainda substituir
e
de volta):
Esse é o produto das três derivadas que calculamos nos passos anteriores. Agora falta apenas substituir
e
para voltar à escrita em função de
.
Passo 8
Substituir as definições de
e
para escrever a derivada explicitamente em função de
(forma final). Também apresento uma forma alternativa usando
se preferir evitar
.