Aplique a regra da cadeia para resolver as derivadas das seguintes funções:
Y=\operatorname{sen}(\cos (\operatorname{tg}(\mathrm{x}))

Passo 1

O enunciado dá a função Y=\operatorname{sen}(\cos(\operatorname{tg}(x))). Interpreto aqui as notações trigonométricas usuais em LaTeX, ou seja:
Y=\sin\bigl(\cos(\tan(x))\bigr).
O que é pedido: calcular a derivada \dfrac{dY}{dx} usando a regra da cadeia.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável independente é x.
  • A função é uma composição de três funções trigonométricas: primeiro \tan(x), depois \cos(\cdot) aplicada ao resultado, e por fim \sin(\cdot).
  • Objetivo: aplicar a regra da cadeia corretamente e mostrar o passo a passo.

Passo 2

Lembrete didático: regra da cadeia (explicação simples e amigável).
  • Se y=f(g(x)), então a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
  • Em palavras: derivar a função de fora, avaliá-la na função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro. Dá para repetir isso quantas vezes a composição tiver — é só ir descendo os níveis.
Exemplo curto para fixar: se y=\sin(x^2), então f(t)=\sin t e g(x)=x^2. Assim
\frac{dy}{dx}=\cos(x^2)\cdot 2x.
Viu? Primeiro derivou \sin que vira \cos avaliado em x^2, depois multiplicou pela derivada de x^2.

Passo 3

Identificar claramente os níveis da composição para aplicar a regra da cadeia sem confusão. Vamos definir funções internas:
u=\tan(x), \qquad v=\cos(u), \qquad Y=\sin(v).
Aqui:
  • x é a variável independente.
  • u é a primeira função interna, u(x)=\tan(x).
  • v é a segunda função interna, v(u)=\cos(u).
  • Y é a função externa, Y(v)=\sin(v).
Essa organização em camadas ajuda muito a não se perder quando multiplicamos as derivadas.

Passo 4

Derivar a camada externa em relação à camada imediatamente interna:
  • Derivada de Y em relação a v:
\frac{dY}{dv}=\cos(v).
Explicação: a derivada de \sin(t) em relação a t é \cos(t). Aqui t=v.

Passo 5

Derivar a camada do meio em relação à camada mais interna:
  • Derivada de v em relação a u:
\frac{dv}{du}=-\sin(u).
Explicação: a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t). Aqui t=u.

Passo 6

Derivar a camada mais interna em relação a x:
  • Derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^2(x).
Explicação: a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x). Lembrando que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}, então \operatorname{sec}^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}.

Passo 7

Aplicar a regra da cadeia multiplicando as derivadas de cada camada (sem ainda substituir u e v de volta):
\frac{dY}{dx}=\frac{dY}{dv}\cdot\frac{dv}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos(v)\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot\operatorname{sec}^2(x).
Esse é o produto das três derivadas que calculamos nos passos anteriores. Agora falta apenas substituir u=\tan(x) e v=\cos(u) para voltar à escrita em função de x.

Passo 8

Substituir as definições de u e v para escrever a derivada explicitamente em função de x (forma final). Também apresento uma forma alternativa usando \cos^{-2}(x) se preferir evitar \operatorname{sec}.

Resposta

\frac{dY}{dx}=-\cos\bigl(\cos(\tan(x))\bigr)\,\sin\bigl(\tan(x)\bigr)\,\operatorname{sec}^2(x)

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