Calcule as derivadas das funções
e use um argumento geométrico para explicar o fato de que as derivadas são iguais. Generalize seu argumento para o caso
, onde
é uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas das funções y=x² e y=x²–3 e usar um argumento geométrico para explicar por que elas coincidem. O conteúdo envolve derivadas de polinômios e o conceito de inclinação da reta tangente, e vamos precisar da definição de derivada (limite do coeficiente angular) e da propriedade de que a derivada de constante é zero.
Passo 2
Para y=x², usamos a definição de derivada como limite do quociente incremental:
Para y=x²–3, aplicamos a linearidade da derivada:
Passo 3
Geometricamente, as curvas y=x² e y=x²–3 são idênticas, só que a segunda está deslocada 3 unidades para baixo. Esse deslocamento vertical não muda a inclinação da reta tangente em cada x, por isso as derivadas (as inclinações) são iguais.
Generalizando para y=x²+c, com c∈ℝ constante, vale
ou seja, qualquer adição de uma constante desloca verticalmente o gráfico sem alterar a inclinação da tangente.
Resposta
As derivadas de y=x², y=x²–3 e y=x²+c são todas iguais a 2x.