Calcule as derivadas das funções y=x^2 e y=x^2-3 e use um argumento geométrico para explicar o fato de que as derivadas são iguais. Generalize seu argumento para o caso y=x^2+c, onde c in R é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das funções y=x² e y=x²–3 e usar um argumento geométrico para explicar por que elas coincidem. O conteúdo envolve derivadas de polinômios e o conceito de inclinação da reta tangente, e vamos precisar da definição de derivada (limite do coeficiente angular) e da propriedade de que a derivada de constante é zero.

Passo 2

Para y=x², usamos a definição de derivada como limite do quociente incremental:
f'(x)=limhto0(x+h)^2-x^2h =limhto0x^2+2xh+h^2-x^2h =limhto0(2x+h) =2x
Para y=x²–3, aplicamos a linearidade da derivada:
(x^2-3)'=(x^2)'-3'=2x-0=2x

Passo 3

Geometricamente, as curvas y=x² e y=x²–3 são idênticas, só que a segunda está deslocada 3 unidades para baixo. Esse deslocamento vertical não muda a inclinação da reta tangente em cada x, por isso as derivadas (as inclinações) são iguais.
Generalizando para y=x²+c, com c∈ℝ constante, vale
(x^2+c)'=(x^2)'+c'=2x+0=2x,
ou seja, qualquer adição de uma constante desloca verticalmente o gráfico sem alterar a inclinação da tangente.

Resposta

As derivadas de y=x², y=x²–3 e y=x²+c são todas iguais a 2x.

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