A demanda de um produto é dada por D(x)=-35 x+200, ou seja, x unidades são demandadas (vendidas) quando o preço unitário é p=D(x) reais.
Use os métodos do Cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da despesa do consumidor com o número de unidades compradas x=4. A despesa está aumentando ou diminuindo para x=4?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo juntos! A questão fala sobre a demanda de um produto dada pela função $ D(x) = -35x + 200 $, onde $ x $ é o número de unidades vendidas e $ p = D(x) $ é o preço por unidade. Precisamos usar o cálculo para encontrar a taxa instantânea de variação da despesa do consumidor quando compram 4 unidades, ou seja, determinar se a despesa está aumentando ou diminuindo nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a despesa do consumidor. A despesa total $ E(x) $ é o valor que o consumidor gasta ao comprar $ x $ unidades do produto. Isso é calculado multiplicando o preço por unidade $ p $ pela quantidade $ x $:
E(x)
Como $ p = D(x) = -35x + 200 $, podemos substituir na fórmula:
x

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da despesa:
E(x) = -35x^2 + 200x
Para encontrar a taxa instantânea de variação da despesa em relação ao número de unidades compradas, precisamos derivar $ E(x) $ em relação a $ x $. Isso significa calcular $ E’(x) $, que nos dá a velocidade com que a despesa está mudando quando $ x $ varia.

Passo 4

Calculando a derivada de $ E(x) $:
E(x)
Essa derivada nos diz quanto a despesa está aumentando ou diminuindo a cada unidade adicional comprada.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto $ x = 4 $:
x = 4

Resposta

A taxa instantânea de variação da despesa do consumidor quando compram 4 unidades é -80 reais por unidade. Isso significa que a despesa está diminuindo nesse ponto.

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