Um empresário estima que, se fabricar x centenas de unidades de um produto, terá um lucro de
L(x)=4000(15-x)(x-2),
em reais.
Qual é o significado do nível de produção xm para o qual L^prime(x)=0? Determine o valor de xm.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de lucro $ \mathrm{L}(x) = 4000(15 - x)(x - 2) $, onde $ x $ representa a quantidade de centenas de unidades produzidas. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o de cálculo derivativo, especialmente o conceito de derivada para encontrar pontos críticos que podem representar máximos ou mínimos da função. Precisamos encontrar o valor de $ x_m $ que torna a derivada de $ \mathrm{L}(x) $ igual a zero, ou seja, $ \mathrm{L}’(x) = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ \mathrm{L}(x) $. A função dada é um produto de dois termos, então vamos usar a regra do produto para derivar.
A regra do produto diz que $ (f(x) \cdot g(x))’ = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x) $.
Aqui, $ f(x) = 15 - x $ e $ g(x) = x - 2 $.
Calculando as derivadas:
$ f’(x) = -1 $
$ g’(x) = 1 $
Aplicando a regra do produto:
L(x)

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão da derivada:
L'(x) = 4000 [ - (x - 2) + (15 - x) ] = 4000 [ -x + 2 + 15 - x ] = 4000 [ -2x + 17 ]

Passo 4

Queremos encontrar o valor de $ x_m $ que faz com que $ \mathrm{L}’(x) = 0 $. Então, igualamos a derivada a zero:
xm
Dividindo ambos os lados por 4000:
L'(x) = 0

Passo 5

Resolvendo para $ x $:
x

Resposta

O nível de produção $ x_m = 8,5 $ (ou seja, 850 unidades) é o ponto onde o lucro é maximizado, pois é o valor de $ x $ que faz a derivada do lucro igual a zero.

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