Utilizando as propriedades das derivadas encontre as derivadas das funções:
f(x)=\frac{3 x-2}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3x-2}{x^{2}} e pede para encontrar a sua derivada.
Informações relevantes: a expressão envolve divisão por x^{2}, então o domínio da função (e da derivada) é x\neq 0. Não vamos resolver ainda, apenas identificar o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vou simplificar a função antes de derivar porque isso deixa a conta mais simples na prova. Podemos escrever a divisão por x^{2} como multiplicação por x^{-2}. Assim:
f(x)=(3x-2)\,x^{-2}.
Agora distribuo:
f(x)=3x\cdot x^{-2}-2\cdot x^{-2}.
Calculando as potências:
f(x)=3x^{-1}-2x^{-2}.
Pronto — transformamos a função numa soma de potências de x, o que permite usar direto a regra da potência.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explico como se fosse uma mini-aula):
  • Regra da potência: se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n\,x^{n-1}. Aqui n é qualquer número real; x é a variável.
  • Regra do fator constante: a derivada de c\cdot h(x) é c\cdot h'(x), onde c é constante.
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas: (h+k)'=h'+k'.
    Usando essas regras passo a passo conseguimos derivar 3x^{-1} e -2x^{-2} separadamente.

Passo 4

Derivo termo a termo usando a regra da potência e a regra do fator constante.
Derivada de 3x^{-1}: o coeficiente 3 fica como fator e aplico a potência n=-1:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-1}\bigr)=3\cdot(-1)\,x^{-2}=-3x^{-2}.
Derivada de -2x^{-2}: o coeficiente -2 fica e aplico n=-2:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-2}\bigr)=-2\cdot(-2)\,x^{-3}=4x^{-3}.
Somando as derivadas (linearidade):
f'(x)=-3x^{-2}+4x^{-3}.

Passo 5

Agora deixo a resposta em forma de fração única, que costuma ser a forma pedida em prova. Para somar os termos com potências negativas, coloco sobre o mesmo denominador x^{3}. Escrevo cada termo com denominador x^{3}:
-3x^{-2}=-3\frac{1}{x^{2}}=-3\frac{x}{x^{3}}=\frac{-3x}{x^{3}}, \qquad 4x^{-3}=\frac{4}{x^{3}}=\frac{4}{x^{3}}.
Somando:
f'(x)=\frac{-3x}{x^{3}}+\frac{4}{x^{3}}=\frac{-3x+4}{x^{3}}.

Passo 6

Verificação (opcional, mas bom para a prova): aplicando a regra do quociente para checar o resultado. Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=3x-2 e v(x)=x^{2}. Temos u'(x)=3 e v'(x)=2x. Então
f'(x)=\frac{3\cdot x^{2}-(3x-2)\cdot 2x}{x^{4}}=\frac{3x^{2}-6x^{2}+4x}{x^{4}}=\frac{-3x^{2}+4x}{x^{4}}=\frac{-3x+4}{x^{3}},
que confirma o resultado anterior. Boa prática: se der tempo, vale checar com outro método para evitar erro de sinal.

Passo 7

Observação final e incentivo: a derivada está definida para x\neq 0 (porque aparece x^{3} no denominador). Mandou bem por abrir o problema — simplificar antes quase sempre torna tudo mais rápido numa prova. Respira, repete esse passo em mais exercícios e vai pegar confiança!

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{-3x+4}{x^{3}}

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