Utilizando as propriedades das derivadas encontre as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a sua derivada.
Informações relevantes: a expressão envolve divisão por , então o domínio da função (e da derivada) é
. Não vamos resolver ainda, apenas identificar o que foi dado e o que se pede.
Informações relevantes: a expressão envolve divisão por
Passo 2
Vou simplificar a função antes de derivar porque isso deixa a conta mais simples na prova. Podemos escrever a divisão por
como multiplicação por
. Assim:
Agora distribuo:
Calculando as potências:
Pronto — transformamos a função numa soma de potências de
, o que permite usar direto a regra da potência.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explico como se fosse uma mini-aula):
- Regra da potência: se
, então . Aqui é qualquer número real; é a variável. - Regra do fator constante: a derivada de
é , onde é constante. - Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas:
.
Usando essas regras passo a passo conseguimos derivare separadamente.
Passo 4
Derivo termo a termo usando a regra da potência e a regra do fator constante.
Derivada de
: o coeficiente
fica como fator e aplico a potência
:
Derivada de
: o coeficiente
fica e aplico
:
Somando as derivadas (linearidade):
Passo 5
Agora deixo a resposta em forma de fração única, que costuma ser a forma pedida em prova. Para somar os termos com potências negativas, coloco sobre o mesmo denominador
. Escrevo cada termo com denominador
:
Somando:
Passo 6
Verificação (opcional, mas bom para a prova): aplicando a regra do quociente para checar o resultado. Se
então
Aqui
e
. Temos
e
. Então
que confirma o resultado anterior. Boa prática: se der tempo, vale checar com outro método para evitar erro de sinal.
Passo 7
Observação final e incentivo: a derivada está definida para
(porque aparece
no denominador). Mandou bem por abrir o problema — simplificar antes quase sempre torna tudo mais rápido numa prova. Respira, repete esse passo em mais exercícios e vai pegar confiança!