Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
\quad f(x)=\sqrt{3 x^{2}-5 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\sqrt{3x^{2}-5x+2}.
Informações dadas:
\text{a função } f(x) \text{ está escrita como uma raiz quadrada de uma expressão quadrática } 3x^{2}-5x+2.çãáãá
A tarefa é encontrar \dfrac{df}{dx} (ou \dfrac{dy}{dx}) usando a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos relembrar a regra da cadeia de forma clara e prática. Se tivermos uma função composta
f(x)=g(h(x)),
então a derivada é
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Aqui g é a função externa (depende de uma variável intermediária u), h é a função interna (depende de x), g'(u) é a derivada de g em relação a u e h'(x) é a derivada de h em relação a x. Em palavras: “derivo a externa mantendo a interna, depois multiplico pela derivada da interna”.
Exemplo rápido e simples para fixar: se f(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}, aplicando power rule temos
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Isto é exatamente a aplicação da regra da cadeia combinada com a regra do expoente.

Passo 3

Identificamos as partes da composição para o nosso problema:
\text{função externa: } g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2},çã
\text{função interna: } h(x)=3x^{2}-5x+2,çã
de modo que f(x)=g(h(x)).

Passo 4

Derivada da função externa g(u)=u^{1/2}. Usando a regra do poder (power rule):
\frac{dg}{du}=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Explicando a regra do poder: para u^{n} com n constante, \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}, então \dfrac{d}{du}u^{1/2}=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.

Passo 5

Derivada da função interna h(x)=3x^{2}-5x+2. Derivando termo a termo:
\frac{dh}{dx}=\frac{d}{dx}(3x^{2})-\frac{d}{dx}(5x)+\frac{d}{dx}(2)=3\cdot 2x-5+0=6x-5.
Aqui usei que \dfrac{d}{dx}(ax^{2})=2ax, \dfrac{d}{dx}(ax)=a e a derivada de constante é zero.

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Substituindo g'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} com u=h(x)=3x^{2}-5x+2 e h'(x)=6x-5, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{3x^{2}-5x+2}}\cdot(6x-5).
Colocando numa forma mais usual:
f'(x)=\frac{6x-5}{2\sqrt{3x^{2}-5x+2}}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x-5}{2\sqrt{3x^{2}-5x+2}}

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