Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
\quad f(x)=\left(5 x^{2}-3 x+4\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\left(5x^{2}-3x+4\right)^{7}.
Informações relevantes dadas:
  1. A função é uma potência de uma expressão polinomial: a base é 5x^{2}-3x+4 e o expoente é 7.
  2. Devemos aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Explicação da regra da cadeia (com calma, como se estivéssemos na mesma sala estudando): se tivermos uma função composta escrita como
y = g(h(x)),
então a derivada em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx} = g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
O que isso significa na prática:
  • Identificamos a função “externa” g(u) (aquilo que toma a outra função como entrada) e a função “interna” h(x).
  • Calculamos a derivada da externa em relação à sua variável u e avaliamos em u=h(x).
  • Multiplicamos pelo derivada da interna h'(x).
    Um exemplo rápido e simples: se y=(2x+1)^3, vemos g(u)=u^3 e h(x)=2x+1. Então g'(u)=3u^2 e h'(x)=2, logo \dfrac{dy}{dx}=3(2x+1)^2\cdot 2.

Passo 3

Aplicando essa identificação à função do enunciado:
  • Tome a função interna \displaystyle u(x)=5x^{2}-3x+4.
  • Tome a função externa \displaystyle g(u)=u^{7}.
    Assim f(x)=g(u(x)). Não resolvemos nada ainda, só organizamos a ideia.

Passo 4

Calcule as derivadas das partes (mostrando cada conta):
  • Derivada da externa em relação a u: aplicando a regra do “potência” (regra do expoente), se g(u)=u^{7} então
g'(u)=7u^{6}.
A regra da potência diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Aqui n=7.
  • Derivada da interna em relação a x: u(x)=5x^{2}-3x+4. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=5\cdot 2x=10x,
\frac{d}{dx}(-3x)=-3,
\frac{d}{dx}(4)=0.
Somando, obtemos
u'(x)=10x-3.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{dy}{dx}=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo g'(u)=7u^{6} e u(x)=5x^{2}-3x+4 e u'(x)=10x-3, temos
\frac{dy}{dx}=7\big(5x^{2}-3x+4\big)^{6}\cdot(10x-3).

Passo 6

Podemos reorganizar o fator numérico se preferir uma forma mais ‘expandida’ dos coeficientes: multiplicando 7 em (10x-3),
7(10x-3)=70x-21,
logo uma forma equivalente é
\frac{dy}{dx}=(70x-21)\big(5x^{2}-3x+4\big)^{6}.
Ambas as formas são corretas; a primeira deixa clara a aplicação direta da regra da cadeia.

Passo 7

Exemplo extra para fixar (curto e direto): se tivéssemos h(x)=(3x^2+5)^{4}, pela mesma ideia teríamos
h'(x)=4(3x^2+5)^{3}\cdot(6x)=24x(3x^2+5)^{3}.
Viu como é sempre a mesma receita? Identifica interna/externa, deriva cada uma e multiplica.

Resposta

\frac{dy}{dx}=7(10x-3)\big(5x^{2}-3x+4\big)^{6}

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