Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações relevantes dadas:
- A função é uma potência de uma expressão polinomial: a base é
e o expoente é . - Devemos aplicar a regra da cadeia para obter
.
Passo 2
Explicação da regra da cadeia (com calma, como se estivéssemos na mesma sala estudando): se tivermos uma função composta escrita como
então a derivada em relação a
é dada por
O que isso significa na prática:
- Identificamos a função “externa”
(aquilo que toma a outra função como entrada) e a função “interna” . - Calculamos a derivada da externa em relação à sua variável
e avaliamos em . - Multiplicamos pelo derivada da interna
.
Um exemplo rápido e simples: se, vemos e . Então e , logo .
Passo 3
Aplicando essa identificação à função do enunciado:
- Tome a função interna
. - Tome a função externa
.
Assim. Não resolvemos nada ainda, só organizamos a ideia.
Passo 4
Calcule as derivadas das partes (mostrando cada conta):
- Derivada da externa em relação a
: aplicando a regra do “potência” (regra do expoente), se então
A regra da potência diz que
. Aqui
.
- Derivada da interna em relação a
: . Derivando termo a termo:
Somando, obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia juntando os resultados:
Substituindo
e
e
, temos
Passo 6
Podemos reorganizar o fator numérico se preferir uma forma mais ‘expandida’ dos coeficientes: multiplicando
em
,
logo uma forma equivalente é
Ambas as formas são corretas; a primeira deixa clara a aplicação direta da regra da cadeia.
Passo 7
Exemplo extra para fixar (curto e direto): se tivéssemos
, pela mesma ideia teríamos
Viu como é sempre a mesma receita? Identifica interna/externa, deriva cada uma e multiplica.