Calcule as derivadas das funções vetoriais a seguir:
sigma(t)=t i+cosh (t) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função vetorial dada por sigma(t) = t, i + cosh(t), k. Estamos lidando com cálculo de derivadas de funções vetoriais, especificamente aplicando as regras de derivação a componentes individuais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como derivar funções escalares e aplicar isso a cada vetor componente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função vetorial. Uma função vetorial como sigma(t) combina múltiplas funções escalares em diferentes direções de um espaço vetorial. No caso, temos duas componentes:
  • t, i: onde i é o vetor unitário na direção x.
  • cosh(t), k: onde k é o vetor unitário na direção z.
Para encontrar a derivada de sigma(t), vamos derivar cada componente separadamente em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente: t, i.
A derivada de t em relação a t é 1. Então,
ddt(t, i) = 1, i

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: cosh(t), k.
A derivada de cosh(t) em relação a t é sinh(t). Assim,
ddt(cosh(t), k) = sinh(t), k

Passo 5

Finalmente, juntamos as derivadas das componentes para obter a derivada total da função vetorial sigma(t):
sigma'(t) = 1, i + sinh(t), k

Resposta

A derivada da função vetorial é sigma'(t) = i + sinh(t), k.

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