Seja
. Mostre que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por
, onde
. Isto é,
.
Sugestões:
.
(2.5 pontos)
Sugestões:
(2.5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{-4} $ no ponto
. Isso envolve entender derivadas, que é o conteúdo que vamos usar aqui. Precisamos calcular o limite
para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ f(x) $ e $ f© $ na expressão do limite:
Isso fica:
Passo 3
Para simplificar essa fração, vamos encontrar um denominador comum para os termos no numerador:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, vamos focar no numerador $ c^{4} - x^{4} $. Sabemos que:
Substituindo isso na nossa expressão:
Passo 5
Perceba que $ c - x = -(x - c) $. Então, podemos simplificar o termo $ (c - x) $ com $ (x - c) $ no denominador:
Passo 6
Agora, com o $ x - c $ cancelado, substituímos $ x $ por $ c $ na expressão restante:
Passo 7
Simplificando $ \frac{-4c{3}}{c{8}} $:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^{-4} $ no ponto
é $ f^{\prime}© = -4c^{-5} $.