Seja f(dotx)=x^-4. Mostre que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto
(c, f(c)) é dado por f^prime(c)=-4 c^-5, onde c neq 0. Isto é, lim x c(f(x)-f(c)x-c)=-4 c^-5.
Sugestões: (x^4-c^4)=(x-c) cdot(x^3+x^2 c+x c^2+c^3) ; x^-4=1 / x^4.
(2.5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^{-4} $ no ponto f(x) = x^-4 . Isso envolve entender derivadas, que é o conteúdo que vamos usar aqui. Precisamos calcular o limite (c, f(c)) para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ f(x) $ e $ f© $ na expressão do limite:
f(x)
Isso fica:
f(c)

Passo 3

Para simplificar essa fração, vamos encontrar um denominador comum para os termos no numerador:
1x^4 - 1c^4 = c^4 - x^4x^4 c^4
Então, a expressão original fica:
lim x c(c^4 - x^4x^4 c^4x - c) = lim x c(c^4 - x^4x^4 c^4 (x - c))

Passo 4

Agora, vamos focar no numerador $ c^{4} - x^{4} $. Sabemos que:
c^4 - x^4
Substituindo isso na nossa expressão:
c^4 - x^4 = (c - x)(c^3 + c^2x + c x^2 + x^3)

Passo 5

Perceba que $ c - x = -(x - c) $. Então, podemos simplificar o termo $ (c - x) $ com $ (x - c) $ no denominador:
c - x = -(x - c)

Passo 6

Agora, com o $ x - c $ cancelado, substituímos $ x $ por $ c $ na expressão restante:
x - c

Passo 7

Simplificando $ \frac{-4c{3}}{c{8}} $:
-4c^3c^8

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^{-4} $ no ponto f(x) = x^-4 é $ f^{\prime}© = -4c^{-5} $.

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