Encontre (e prove) os pontos de descontinuidade da função abaixo caso estes existam.
Passo 1
O enunciado pede pra achar e provar onde essa função é descontínua. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes usando valor absoluto, e a gente vai precisar usar definição de limite e a propriedade de que valor absoluto é contínuo.
Passo 2
Perceba que para x<-1 temos f(x)=|x-1| e para x>-1 temos f(x)=|1-x|. Como |1-x|=|x-1|, então pra todo x≠-1 vale simplesmente f(x)=|x-1|. Sabemos que a função valor absoluto é contínua em todo real. Ou seja, g(x)=|x-1| é contínua para qualquer x. Logo f(x)=g(x) é contínua em todo ponto x≠-1.
Passo 3
Agora vamos olhar o ponto x=-1. Primeiro calcule a limite pela esquerda:
E pela direita:
Passo 4
Como as duas são iguais, o limite em x=-1 existe e vale 2. Mas f(-1)=0, então
Passo 5
Portanto a função tem descontinuidade em x=-1. Em qualquer outro ponto f coincide com |x-1|, que é contínua, logo não há outras descontinuidades.
Resposta
A única descontinuidade de f ocorre em x = -1.