Encontre (e prove) os pontos de descontinuidade da função abaixo caso estes existam.
f(x)= |x-1| & x<-1 0 & x=-1 |1-x| & x>-1

Passo 1

O enunciado pede pra achar e provar onde essa função é descontínua. O conteúdo aqui é continuidade de função definida por partes usando valor absoluto, e a gente vai precisar usar definição de limite e a propriedade de que valor absoluto é contínuo.

Passo 2

Perceba que para x<-1 temos f(x)=|x-1| e para x>-1 temos f(x)=|1-x|. Como |1-x|=|x-1|, então pra todo x≠-1 vale simplesmente f(x)=|x-1|. Sabemos que a função valor absoluto é contínua em todo real. Ou seja, g(x)=|x-1| é contínua para qualquer x. Logo f(x)=g(x) é contínua em todo ponto x≠-1.

Passo 3

Agora vamos olhar o ponto x=-1. Primeiro calcule a limite pela esquerda:
limxto -1^-f(x)=limxto -1^-|x-1|=|(-1)-1|=2
E pela direita:
limxto -1^+f(x)=limxto -1^+|1-x|=|1-(-1)|=2

Passo 4

Como as duas são iguais, o limite em x=-1 existe e vale 2. Mas f(-1)=0, então
limxto -1f(x)=2neq f(-1)=0

Passo 5

Portanto a função tem descontinuidade em x=-1. Em qualquer outro ponto f coincide com |x-1|, que é contínua, logo não há outras descontinuidades.

Resposta

A única descontinuidade de f ocorre em x = -1.

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