Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ y = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{5} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente lidando com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função composta onde $ u = 1 + \frac{x}{2} $ e a função principal é $ y = u^{5} $. A regra do poder nos diz que a derivada de $ u^{n} $ em relação a $ u $ é $ n \cdot u^{n-1} $.
Passo 3
Segundo, aplicamos a regra do poder na função principal. Derivando $ y = u^{5} $ em relação a $ u $, temos:
Passo 4
Agora, precisamos derivar $ u = 1 + \frac{x}{2} $ em relação a $ x $. A derivada de uma constante é zero, e a derivada de $ \frac{x}{2} $ é $ \frac{1}{2} $:
Passo 5
Por fim, aplicamos a regra da cadeia, que diz que $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $. Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada de $ y = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{5} $ é: