Calcule as derivadas das funções:
y=(1+x2)^5

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função $ y = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{5} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente lidando com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função composta onde $ u = 1 + \frac{x}{2} $ e a função principal é $ y = u^{5} $. A regra do poder nos diz que a derivada de $ u^{n} $ em relação a $ u $ é $ n \cdot u^{n-1} $.

Passo 3

Segundo, aplicamos a regra do poder na função principal. Derivando $ y = u^{5} $ em relação a $ u $, temos:
y = u^5

Passo 4

Agora, precisamos derivar $ u = 1 + \frac{x}{2} $ em relação a $ x $. A derivada de uma constante é zero, e a derivada de $ \frac{x}{2} $ é $ \frac{1}{2} $:
u = 1 + x2

Passo 5

Por fim, aplicamos a regra da cadeia, que diz que $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $. Substituindo os valores que encontramos:
dydx = dydu cdot dudx

Resposta

A derivada de $ y = \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{5} $ é:
y = (1 + x2)^5

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