Nas questões 8 e 9 utilize a lei do resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é,
d Td t=k[Ta m b-T(t)]
onde T(t) é a temperatura do objeto no instante de tempo t, Ta m b é a temperatura do ambiente e k é o coeficiente de transferência de calor.
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100^circ F em um quarto com temperatura constante de 0^circ F. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 50^circ F, determine:
(b) A temperatura da barra após 10 min .
R. (100raiz2)^o F

Passo 1

A questão é sobre resfriamento de Newton, onde temos a equação diferencial dTdt=kl(Tamb-T(t)r). Aqui, a matéria é equações diferenciais de primeira ordem aplicadas à termodinâmica, e vamos precisar usar a solução geral desse tipo de equação.

Passo 2

Como a temperatura do ambiente é zero ( Tamb=0), a equação vira dTdt=-kT. Isso é uma equação diferencial linear simples, cuja solução geral é T(t)=T(0)e^-kt. No nosso caso, T(0)=100, então T(t)=100e^-kt

Passo 3

Para achar k, usamos o dado de que T(20)=50. Substituindo em T(t)=100e^-kt: 50=100e^-20k Dividindo por 100 e aplicando logaritmo: e^-20k=0.5Rightarrow -20k=ln(0.5)=-ln2Rightarrow k=ln220

Passo 4

Agora, queremos T(10). Substituindo t=10 e k=ln220 em T(t)=100e^-kt: T(10)=100e^-10cdot(ln2/20)=100e^-ln22=100l(e^ln2r)^-1/2=100cdot2^-1/2=100raiz2

Resposta

100raiz2°F

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