Calcule as derivadas das funções:
y=cos ^2(pi x-2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ y = \cos^{2}(\pi x - 2) $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta aqui. Temos $ y = [\cos(u)]^{2} $, onde $ u = \pi x - 2 $. Precisamos derivar $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se $ y = f(g(x)) $, então $ \frac{dy}{dx} = f’(g(x)) \cdot g’(x) $.

Passo 4

Aqui, $ f(g) = \cos^{2}(g) $. Vamos derivar $ f(g) $ em relação a $ g $:
f(g) = cos^2(g)
Usando a identidade trigonométrica $ \sin(2g) = 2\sin(g)\cos(g) $, podemos simplificar para:
f(g)

Passo 5

Agora, derivamos $ g = \pi x - 2 $ em relação a $ x $:
g = pi x - 2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
dydx = ddg[cos^2(g)] cdot dgdx = -sin(2g) cdot pi
Substituindo $ g = \pi x - 2 $:
g = pi x - 2

Resposta

A derivada de $ y = \cos^{2}(\pi x - 2) $ é:
y = cos^2(pi x - 2)

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