Decida sobre a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
.
(a)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para a gente decidir se cada uma das séries alternadas (de (a) até (f)) converge ou diverge. O conteúdo principal aqui são o teste do termo geral (para descartar casos em que o termo não vai a zero) e o critério de Leibniz (para séries alternadas com termos decrescentes em módulo indo a zero).
Passo 2
Antes de aplicar em cada caso, vamos lembrar de dois resultados fundamentais:
- Se ,
não tende a zero, a série diverge (teste do termo geral). - (Critério de Leibniz) Se
ou com , monótona decrescente e , então converge.
Para convergência absoluta, a gente checa.
Passo 3
Para (a) temos
. Note que
logo
não tende a zero (fica alternando perto de
). Pelo teste do termo geral, a série diverge.
Passo 4
No caso (b) o termo geral em módulo é
. Primeiro,
Para
grande, pode-se mostrar que
, ou seja, é decrescente a partir de um certo ponto. Logo, pelo critério de Leibniz a série converge. Entretanto,
, então
diverge (comparação com a série harmônica). Conclusão: converge condicionalmente.
Passo 5
Em © o termo é
. Como
, o termo não vai a zero. Pelo teste do termo geral, a série diverge.
Passo 6
Para (d) temos
. Note que
,
e é decrescente em
. Logo, pela Leibniz a série converge. A série absoluta
é comparável a
, que diverge, então a convergência é condicional.
Passo 7
No item (e),
. Em módulo
, vai a zero e é decrescente para
grande. Pelo critério de Leibniz converge. De novo,
diverge (
), então é convergência condicional.
Passo 8
Por fim, em (f)
. Temos
e
decrescente (pois
cresce). Pelo critério de Leibniz a série converge. E
diverge (por integral
divergir), de modo que é convergência condicional.
Resposta
(a) Diverge.
(b) Converge condicionalmente.
© Diverge.
(d) Converge condicionalmente.
(e) Converge condicionalmente.
(f) Converge condicionalmente.
(b) Converge condicionalmente.
© Diverge.
(d) Converge condicionalmente.
(e) Converge condicionalmente.
(f) Converge condicionalmente.