Decida sobre a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas:
(a) sumn=1^infty(-1)^n nraizn^2+2 (b) sumn=1^infty(-1)^n-1 e^1 / nn
© sumn=1^infty(-1)^n cos (pin)
(d) sumn=1^infty(-1)^n(raizn+1-raizn)
(e) sumn=1^infty(-1)^n raizn2 n+3
(f) sumn=1^infty(-1)^n-1 1ln (n+4).

Passo 1

O enunciado pede para a gente decidir se cada uma das séries alternadas (de (a) até (f)) converge ou diverge. O conteúdo principal aqui são o teste do termo geral (para descartar casos em que o termo não vai a zero) e o critério de Leibniz (para séries alternadas com termos decrescentes em módulo indo a zero).

Passo 2

Antes de aplicar em cada caso, vamos lembrar de dois resultados fundamentais:
  1. Se , an não tende a zero, a série sum an diverge (teste do termo geral).
  2. (Critério de Leibniz) Se an = (-1)^n bn ou (-1)^n-1bn com bn>=0, bn monótona decrescente e bnto0, então sum an converge.
    Para convergência absoluta, a gente checa sum |an|.

Passo 3

Para (a) temos an = (-1)^ndfracnraizn^2+2. Note que
limntoinftynraizn^2+2=1,
logo an não tende a zero (fica alternando perto de pm1). Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Passo 4

No caso (b) o termo geral em módulo é bn=dfrace^1/nn. Primeiro,
limntoinftybn=limntoinftye^1/nn=0
Para n grande, pode-se mostrar que bn+1, ou seja, é decrescente a partir de um certo ponto. Logo, pelo critério de Leibniz a série converge. Entretanto, bnsim1/n, então sum bn diverge (comparação com a série harmônica). Conclusão: converge condicionalmente.

Passo 5

Em © o termo é an=(-1)^ncosl(tfracpi nr). Como cos(pi/n)tocos0=1, o termo não vai a zero. Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Passo 6

Para (d) temos an=(-1)^nl(raizn+1-raiz nr). Note que bn=raizn+1-raiz n>0, bnto0 e é decrescente em n. Logo, pela Leibniz a série converge. A série absoluta sum bn é comparável a sum1/raiz n, que diverge, então a convergência é condicional.

Passo 7

No item (e), an=(-1)^ndfracraiz n2n+3. Em módulo bn=dfracraiz n2n+3simtfrac12raiz n, vai a zero e é decrescente para n grande. Pelo critério de Leibniz converge. De novo, sum bn diverge ( p=1/2<1), então é convergência condicional.

Passo 8

Por fim, em (f) an=(-1)^n-1dfrac1ln(n+4). Temos bn=1/ln(n+4)to0 e bn decrescente (pois ln(n+4) cresce). Pelo critério de Leibniz a série converge. E sum bn diverge (por integral integral dx/ln x divergir), de modo que é convergência condicional.

Resposta

(a) Diverge.
(b) Converge condicionalmente.
© Diverge.
(d) Converge condicionalmente.
(e) Converge condicionalmente.
(f) Converge condicionalmente.

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