Seja
uma função cuja derivada é dada por
. Esboce a forma geral do gráfico de
identificando interseções com eixos, seus pontos críticos e de inflexão se existirem, estudando o sinal das primeira e segunda derivadas desta função.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função $ f $ cuja derivada é $ f^{\prime}(x) = x(x^{2} - 12) $. Vamos usar conceitos de derivadas para esboçar o gráfico de $ f $, identificando onde ela cruza os eixos, seus pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e pontos de inflexão (onde a segunda derivada muda de sinal), estudando o sinal das primeiras e segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos de $ f $. Os pontos críticos ocorrem onde $ f^{\prime}(x) = 0 $ ou não existe. Dado que $ f^{\prime}(x) = x(x^{2} - 12) $, igualamos a zero:
Isso nos dá as soluções $ x = 0 $ e $ x = \pm 2\sqrt{3} $.
Passo 3
Em seguida, vamos determinar os intervalos onde $ f $ está crescente ou decrescente. Isso depende do sinal de $ f^{\prime}(x) $.
- Para $ x < -2\sqrt{3} $: escolhemos, por exemplo, $ x = -4 $.
Então, $ f $ está decrescente nesse intervalo.
- Para $ -2\sqrt{3} < x < 0 $: escolhemos $ x = -1 $.
Então, $ f $ está crescente nesse intervalo.
- Para $ 0 < x < 2\sqrt{3} $: escolhemos $ x = 1 $.
Então, $ f $ está decrescente nesse intervalo.
- Para $ x > 2\sqrt{3} $: escolhemos $ x = 4 $.
Então, $ f $ está crescente nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ f $, que é a derivada de $ f^{\prime}(x) $:
Vamos igualar a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade de $ f $.
- Para $ x < -2 $:
Então, $ f $ é côncava para cima nesse intervalo.
- Para $ -2 < x < 2 $:
Então, $ f $ é côncava para baixo nesse intervalo.
- Para $ x > 2 $:
Então, $ f $ é côncava para cima nesse intervalo.
Passo 6
Vamos encontrar as interseções com os eixos.
- Interseção com o eixo $ y $: $ f(0) $. Para isso, precisamos da expressão de $ f(x) $. Integramos $ f^{\prime}(x) $:
Sem informação adicional, assumimos $ C = 0 $. Então,
Portanto, a interseção com o eixo $ y $ é em $ (0, 0) $.
- Interseção com o eixo $ x $: resolvemos $ f(x) = 0 $:
Então, as interseções com o eixo $ x $ são em $ x = 0 $ e $ x = \pm 2\sqrt{6} $.
Passo 7
Com todas essas informações, vamos resumir:
-
Pontos críticos em $ x = -2\sqrt{3} $, $ x = 0 $, e $ x = 2\sqrt{3} $.
-
$ f $ é decrescente em $ (-\infty, -2\sqrt{3}) $ e $ (0, 2\sqrt{3}) $, e crescente em $ (-2\sqrt{3}, 0) $ e $ (2\sqrt{3}, \infty) $.
-
Pontos de inflexão em $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
-
$ f $ é côncava para cima em $ (-\infty, -2) $ e $ (2, \infty) $, e côncava para baixo em $ (-2, 2) $.
-
Interseções com os eixos em $ (0, 0) $ e $ x = \pm 2\sqrt{6} $.
Resposta
A forma geral do gráfico de $ f $ possui interseções nos pontos $ (0, 0) $ e $ x = \pm 2\sqrt{6} $, pontos críticos em $ x = -2\sqrt{3} $, $ x = 0 $ e $ x = 2\sqrt{3} $, com $ f $ crescendo nos intervalos $ (-2\sqrt{3}, 0) $ e $ (2\sqrt{3}, \infty) $, e decrescendo em $ (-\infty, -2\sqrt{3}) $ e $ (0, 2\sqrt{3}) $. Além disso, há pontos de inflexão em $ x = -2 $ e $ x = 2 $, com a concavidade mudando de côncava para cima para côncava para baixo e vice-versa nesses pontos.