Calcule as integrais triplas a seguir:
integral-3^3 integral-1^2 integral0^9-x^2 d z d y d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral tripla integralx=-3^3integraly=-1^2integralz=0^9 - x^2dz,dy,dxque representa o volume do sólido delimitado por x entre -3 e 3, y entre -1 e 2, e z entre 0 e 9−x². O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas, e precisaremos integrar passo a passo nas variáveis z, y e x.

Passo 2

Ao integrar primeiro em z, tratamos x e y como constantes e usamos a fórmula da integral de 1:
integral0^9 - x^2dz = z|0^9 - x^2 = (9 - x^2) - 0 = 9 - x^2

Passo 3

Agora a integral fica
integral-3^3integral-1^2(9 - x^2),dy,dx

Passo 4

Em seguida, integramos em y. Como a função não depende de y, basta multiplicar pelo comprimento do intervalo de integração (2 - (-1) = 3):
integraly=-1^2(9 - x^2),dy = (9 - x^2)cdot3

Passo 5

A integral se reduz a
3integral-3^3(9 - x^2),dx

Passo 6

Para integrar em x, separamos em duas integrais e usamos simetria:
3l(integral-3^39,dx - integral-3^3x^2,dxr)

Passo 7

Calculando cada termo:
integral-3^39,dx = 9cdot(3 - (-3)) = 9cdot6 = 54,
integral-3^3x^2,dx = 2integral0^3x^2,dx = 2cdotx^33|0^3 = 2cdot273 = 18

Passo 8

Substituindo de volta:
3l(54 - 18r) = 3cdot36 = 108

Resposta

108

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