Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas da função
.\n
Informações dadas: a função está explícita em termos de e envolve uma exponencial composta com uma função trigonométrica.\n
Objetivo concreto: obter a(s) derivada(s) em relação a — vou calcular a primeira derivada
e também a segunda derivada
para reforçar o processo.
Informações dadas: a função está explícita em termos de
Objetivo concreto: obter a(s) derivada(s) em relação a
Passo 2
Conceito-chave usado (explicação didática): quando temos uma função composta
, onde
é uma função de
, a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da função interna. Em fórmulas:
Aqui
é a “parte dentro” da exponencial e
é a sua derivada. É essencial identificar corretamente
antes de aplicar a regra.
Passo 3
Identificamos a função interna no nosso caso:
.\n
Agora precisamos da derivada de . A derivada da função cosseno é conhecida e vale
. Então
Agora precisamos da derivada de
Breve intuição: o cosseno oscila; seu declive naquele ponto é dado pelo negativo do seno.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia (Passo 2) com
e
, obtemos a primeira derivada:
É costume escrever de forma mais limpa:
Passo 5
Comentário didático/prático: note que
nunca é zero, então a derivada muda de sinal apenas por causa do fator
. Na prova, escreva direto identificar
, calcular
e aplicar a regra da cadeia — isso evita erros.
Passo 6
Agora vamos à segunda derivada
. Temos
. Isto é um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Expliquei: derive a primeira função mantendo a segunda, some com a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 7
Calculemos as derivadas necessárias:
(este último é aplicação direta da regra da cadeia já usada no Passo 4).
Passo 8
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 9
Agora simplificamos termo a termo. No segundo termo temos
. Então
Fatorando
(que facilita a leitura e é um passo comum em provas):
Passo 10
Comentário final e dica de prova: a ordem típica na hora da prova é (1) identificar a função interna
, (2) calcular
, (3) aplicar regra da cadeia para a primeira derivada, (4) se precisar de derivadas superiores, usar regra do produto quando aparecer um produto e reaplicar a cadeia quando aparecer
novamente. Sempre verifique sinais (o menos do seno e do cosseno) com cuidado.