Calcule as derivadas das funções:
y=e^{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas da função \;y=e^{\cos(x)}.\n
Informações dadas: a função está explícita em termos de x e envolve uma exponencial composta com uma função trigonométrica.\n
Objetivo concreto: obter a(s) derivada(s) em relação a x — vou calcular a primeira derivada y' e também a segunda derivada y'' para reforçar o processo.

Passo 2

Conceito-chave usado (explicação didática): quando temos uma função composta y=e^{u(x)}, onde u(x) é uma função de x, a derivada é dada pela regra da cadeia. A regra da cadeia diz que devemos derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da função interna. Em fórmulas:
\text{Se } y=e^{u(x)}\text{ então } y' = e^{u(x)}\cdot u'(x).ã
Aqui u(x) é a “parte dentro” da exponencial e u'(x) é a sua derivada. É essencial identificar corretamente u(x) antes de aplicar a regra.

Passo 3

Identificamos a função interna no nosso caso: \;u(x)=\cos(x).\n
Agora precisamos da derivada de \;u(x). A derivada da função cosseno é conhecida e vale \;(\cos x)' = -\sin x. Então
u'(x) = -\sin(x).
Breve intuição: o cosseno oscila; seu declive naquele ponto é dado pelo negativo do seno.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia (Passo 2) com \;u(x)=\cos(x) e \;u'(x)=-\sin(x), obtemos a primeira derivada:
y' = e^{\cos(x)}\cdot (-\sin(x)).
É costume escrever de forma mais limpa:
y' = -\sin(x)\,e^{\cos(x)}.

Passo 5

Comentário didático/prático: note que \;e^{\cos(x)} nunca é zero, então a derivada muda de sinal apenas por causa do fator -\sin(x). Na prova, escreva direto identificar u(x), calcular u'(x) e aplicar a regra da cadeia — isso evita erros.

Passo 6

Agora vamos à segunda derivada y''. Temos \;y' = -\sin(x)\,e^{\cos(x)}. Isto é um produto de duas funções de x: v(x)=-\sin(x) e w(x)=e^{\cos(x)}. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
(vw)' = v'w + v w'.
Expliquei: derive a primeira função mantendo a segunda, some com a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 7

Calculemos as derivadas necessárias:
v(x) = -\sin(x)\quad\Rightarrow\quad v'(x) = -\cos(x),
w(x) = e^{\cos(x)}\quad\Rightarrow\quad w'(x) = e^{\cos(x)}\cdot (-\sin(x))
(este último é aplicação direta da regra da cadeia já usada no Passo 4).

Passo 8

Aplicando a regra do produto:
y'' = v'(x)w(x) + v(x)w'(x).
Substituindo v',v,w,w':
y'' = \big(-\cos(x)\big)\,e^{\cos(x)} + \big(-\sin(x)\big)\,\big(e^{\cos(x)}\cdot(-\sin(x))\big).

Passo 9

Agora simplificamos termo a termo. No segundo termo temos (- \sin(x))\cdot(-\sin(x)) = \sin^2(x). Então
y'' = -\cos(x)\,e^{\cos(x)} + \sin^2(x)\,e^{\cos(x)}.
Fatorando e^{\cos(x)} (que facilita a leitura e é um passo comum em provas):
y'' = e^{\cos(x)}\big(\sin^2(x) - \cos(x)\big).

Passo 10

Comentário final e dica de prova: a ordem típica na hora da prova é (1) identificar a função interna u(x), (2) calcular u'(x), (3) aplicar regra da cadeia para a primeira derivada, (4) se precisar de derivadas superiores, usar regra do produto quando aparecer um produto e reaplicar a cadeia quando aparecer e^{\cos(x)} novamente. Sempre verifique sinais (o menos do seno e do cosseno) com cuidado.

Resposta

y' = -\sin(x)\,e^{\cos(x)}\n
y'' = e^{\cos(x)}\big(\sin^2(x) - \cos(x)\big)

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