Calcule as derivadas das funções:
y=\operatorname{sec} ^{3}\left(2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\operatorname{sec}^{3}\left(2 x^{2}\right).
Informações dadas:
\text{função: }y=\operatorname{sec}^{3}\left(2 x^{2}\right).çã
Pergunta: Calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Vamos olhar a estrutura da função: ela é uma composição em três níveis — uma potência 3 aplicada a uma função secante, que por sua vez tem dentro um polinômio 2x^{2}. Para facilitar, definimos:
u(x)=\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right), \qquad y(x)=u(x)^{3}.
A ideia é usar a regra da cadeia. Explicando a regra da cadeia de forma simples: se y=f(u) e u=g(x), então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui f(u)=u^{3} e g(x)=\operatorname{sec}(2x^{2}). Primeiro vamos derivar a função externa f(u)=u^{3}.

Passo 3

Derivada da função externa (regra do potência):
se f(u)=u^{n} então \dfrac{df}{du}=n u^{n-1}.
Aplicando com n=3:
\frac{dy}{du}=3u^{2}.
Substituindo u=\operatorname{sec}(2x^{2}) temos
\frac{dy}{du}=3\operatorname{sec}^{2}\left(2x^{2}\right).

Passo 4

Agora precisamos de \dfrac{du}{dx} onde u(x)=\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right). Novamente é uma composição: \operatorname{sec}(t) com t=2x^{2}.
A regra para a derivada da função secante é:
\frac{d}{dt}\left[\operatorname{sec}(t)\right]=\operatorname{sec}(t)\tan(t).
Pelo princípio da cadeia, para u(x)=\operatorname{sec}(t(x)),
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dt}\left[\operatorname{sec}(t)\right]\Big|_{t=2x^{2}}\cdot\frac{dt}{dx} =\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right)\tan\left(2x^{2}\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(2x^{2}\right).

Passo 5

Derivada do polinômio t(x)=2x^{2}. Usamos a regra do poder: se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Assim
\frac{d}{dx}\left(2x^{2}\right)=2\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2\cdot 2x=4x.
Portanto
\frac{du}{dx}=\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right)\tan\left(2x^{2}\right)\cdot 4x.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} =3\operatorname{sec}^{2}\left(2x^{2}\right)\cdot\left[\,\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right)\tan\left(2x^{2}\right)\cdot 4x\,\right].
Fazendo a simplificação algébrica: multiplicamos os fatores numéricos 3 e 4x e juntamos as potências de \operatorname{sec}:
3\cdot 4x=12x, \qquad \operatorname{sec}^{2}\left(2x^{2}\right)\cdot\operatorname{sec}\left(2x^{2}\right)=\operatorname{sec}^{3}\left(2x^{2}\right).
Logo
\frac{dy}{dx}=12x\,\operatorname{sec}^{3}\left(2x^{2}\right)\tan\left(2x^{2}\right).

Resposta

y'=12x\,\operatorname{sec}^{3}\left(2x^{2}\right)\tan\left(2x^{2}\right)

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