Calcule as derivadas das funções:
y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{sen}\!\left(e^{x}\right)
e pede que a gente calcule a(s) derivada(s) dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é x e a função é composta — isto é, a função seno recebe como argumento outra função, e^{x}. Não há outros dados (domínio, pontos, etc.), então o objetivo é obter a expressão da derivada em termos de x.

Passo 2

No desdobramento de um problema com função composta, usamos a regra da cadeia. Vou escrever a regra de forma clara e intuitiva antes de aplicar: se temos
y=f(g(x)),
então a derivada de y em relação a x é dada por
\frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Explicação do que cada coisa significa:
  • g(x) é a função interna (aquela que entra na outra),
  • f(u) é a função externa, com u=g(x),
  • f' é a derivada da função externa em relação ao seu argumento u,
  • g' é a derivada da função interna em relação a x.
Essa regra diz, em palavras: derivamos primeiro a função de fora avaliando-a no interior, e multiplicamos pela derivada do interior. É lógica: a variação total vem da variação da parte externa ajustada pela velocidade com que o interior muda.

Passo 3

Identificamos as partes da composição na nossa função:
  • função externa f(u)=\operatorname{sen}(u),
  • função interna g(x)=e^{x}.
Para tornar as contas mais claras, fazemos a substituição provisória u=g(x)=e^{x}. Assim podemos pensar em y=\operatorname{sen}(u) com u=e^{x}.

Passo 4

Calculamos a derivada da função interna u=e^{x}:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e^{x}.
Aqui usei a propriedade básica da exponencial: a derivada de \,e^{x}\, é ela mesma, \,e^{x}\,. Isso ocorre porque a função exponencial cresce numa taxa proporcional ao seu próprio valor.

Passo 5

Calculamos a derivada da função externa em relação a u:
\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\big(\operatorname{sen}(u)\big)=\operatorname{cos}(u).
Isto é a regra padrão: a derivada do seno é o cosseno (aqui escrevo \operatorname{cos} para ficar no mesmo estilo).

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia: multiplicamos \frac{dy}{du} por \frac{du}{dx}. Então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\operatorname{cos}(u)\cdot e^{x}.
Voltando à variável x (substituindo u=e^{x}), obtemos
\frac{dy}{dx}=e^{x}\operatorname{cos}\!\left(e^{x}\right).
Pode-se também escrever isso como y'=e^{x}\operatorname{cos}\!\left(e^{x}\right) — é a mesma coisa.

Passo 7

Pequena checagem num ponto para ganhar confiança: em x=0,
y'(0)=e^{0}\operatorname{cos}\!\left(e^{0}\right)=1\cdot\operatorname{cos}(1)=\operatorname{cos}(1).
Se fizer sentido para você, essa verificação num ponto específico ajuda a confirmar que a fórmula funciona numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{x}\operatorname{cos}\!\left(e^{x}\right)

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