Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente calcule a(s) derivada(s) dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é e a função é composta — isto é, a função seno recebe como argumento outra função,
. Não há outros dados (domínio, pontos, etc.), então o objetivo é obter a expressão da derivada em termos de
.
Informações relevantes fornecidas: a variável independente é
Passo 2
No desdobramento de um problema com função composta, usamos a regra da cadeia. Vou escrever a regra de forma clara e intuitiva antes de aplicar: se temos
então a derivada de
em relação a
é dada por
Explicação do que cada coisa significa:
-
é a função interna (aquela que entra na outra), -
é a função externa, com , -
é a derivada da função externa em relação ao seu argumento , -
é a derivada da função interna em relação a .
Essa regra diz, em palavras: derivamos primeiro a função de fora avaliando-a no interior, e multiplicamos pela derivada do interior. É lógica: a variação total vem da variação da parte externa ajustada pela velocidade com que o interior muda.
Passo 3
Identificamos as partes da composição na nossa função:
- função externa
, - função interna
.
Para tornar as contas mais claras, fazemos a substituição provisória
. Assim podemos pensar em
com
.
Passo 4
Calculamos a derivada da função interna
:
Aqui usei a propriedade básica da exponencial: a derivada de
é ela mesma,
. Isso ocorre porque a função exponencial cresce numa taxa proporcional ao seu próprio valor.
Passo 5
Calculamos a derivada da função externa em relação a
:
Isto é a regra padrão: a derivada do seno é o cosseno (aqui escrevo
para ficar no mesmo estilo).
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia: multiplicamos
por
. Então
Voltando à variável
(substituindo
), obtemos
Pode-se também escrever isso como
— é a mesma coisa.
Passo 7
Pequena checagem num ponto para ganhar confiança: em
,
Se fizer sentido para você, essa verificação num ponto específico ajuda a confirmar que a fórmula funciona numericamente.