Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
Passo 2
Vamos simplificar a escrita definindo uma função intermediária. Seja
portanto
Aqui a ideia é usar a regra da cadeia: se
, então a derivada de
em relação a
é obtida derivando a potência em relação a
e multiplicando pela derivada de
em relação a
. A fórmula da regra da cadeia (para este caso) é
Explicando as notações:
é a função interna (aquela dentro do quadrado);
é a derivada dessa função interna em relação a
. Não podemos avançar sem encontrar
.
Passo 3
Agora vamos calcular
, onde
Isto é uma divisão de duas funções: numerador
e denominador
. Para derivar um quociente usamos a regra do quociente: se
, então
Explicando:
é a derivada do numerador,
é a derivada do denominador, e o denominador da fração final é o quadrado de
.
Passo 4
Calculemos
e
:
Agora aplicamos a regra do quociente:
Passo 5
Fazendo as multiplicações no numerador:
e
Somando:
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental
. Substituindo,
Portanto
Passo 6
Voltando à regra da cadeia, lembramos que
Substituindo
e
, obtemos
Multiplicando as frações simplifica-se o denominador: