Calcule as derivadas das funções:
y=\left(\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\left(\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}\right)^{2}.
Informações dadas e o que se pede:
\text{Dada }y=\left(\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}\right)^{2},\quad\text{calcular }y'.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita definindo uma função intermediária. Seja
u(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x},
portanto
y(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2}.
Aqui a ideia é usar a regra da cadeia: se y=(u)^{2}, então a derivada de y em relação a x é obtida derivando a potência em relação a u e multiplicando pela derivada de u em relação a x. A fórmula da regra da cadeia (para este caso) é
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot\frac{du}{dx}.
Explicando as notações: u(x) é a função interna (aquela dentro do quadrado); \frac{du}{dx} é a derivada dessa função interna em relação a x. Não podemos avançar sem encontrar \frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora vamos calcular \frac{du}{dx}, onde
u(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}.
Isto é uma divisão de duas funções: numerador v(x)=\operatorname{sen} x e denominador w(x)=2+\cos x. Para derivar um quociente usamos a regra do quociente: se u=\dfrac{v}{w}, então
\frac{du}{dx}=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{(w(x))^{2}}.
Explicando: v'(x) é a derivada do numerador, w'(x) é a derivada do denominador, e o denominador da fração final é o quadrado de w(x).

Passo 4

Calculemos v'(x) e w'(x):
v(x)=\operatorname{sen} x\quad\Rightarrow\quad v'(x)=\cos x,
w(x)=2+\cos x\quad\Rightarrow\quad w'(x)=-\operatorname{sen} x.
Agora aplicamos a regra do quociente:
\frac{du}{dx}=\frac{\cos x\,(2+\cos x)-\operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x)}{(2+\cos x)^{2}}.

Passo 5

Fazendo as multiplicações no numerador:
\cos x\,(2+\cos x)=2\cos x+\cos^{2}x,
e
-\operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x)=\operatorname{sen}^{2}x.
Somando:
\cos x\,(2+\cos x)-\operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x)=2\cos x+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x.
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1. Substituindo,
2\cos x+\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=2\cos x+1.
Portanto
\frac{du}{dx}=\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}.

Passo 6

Voltando à regra da cadeia, lembramos que
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot\frac{du}{dx}.
Substituindo u(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x} e \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}, obtemos
\frac{dy}{dx}=2\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}\cdot\frac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^{2}}.
Multiplicando as frações simplifica-se o denominador:
\frac{dy}{dx}=\frac{2\,\operatorname{sen} x\,(1+2\cos x)}{(2+\cos x)^{3}}.

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{2\,\operatorname{sen} x\,(1+2\cos x)}{(2+\cos x)^{3}}}

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