Para a f(x)\) dada, calcule os limites indicados, se existirem. Se o(s) limite(s) não existir(em), especifique a razão. \(f(x)= \begin{cases}x^{2}-3 x+2 & \text { se } x \leq 3 \\\\ 8-2 x & \text { se } x>3\end{cases}
a) \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 3} f(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}-3 x+2 & \text{se } x \leq 3,\\[4pt] 8-2 x & \text{se } x>3.\end{cases}
As perguntas são:
a) Calcular \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
b) Calcular \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
c) Calcular \lim_{x\to 3} f(x).]

Passo 2

Conceitos úteis (explicação didática):
  • A notação \lim_{x\to a^-} f(x) significa o limite quando x se aproxima de a vindo pela esquerda (valores menores que a).
  • A notação \lim_{x\to a^+} f(x) significa o limite quando x se aproxima de a vindo pela direita (valores maiores que a).
  • O limite bilateral \lim_{x\to a} f(x) existe apenas se os dois limites laterais existirem e forem iguais:
\lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
  • Se uma função é polinomial ou linear, ela é contínua em todo ponto; isso quer dizer que o limite ao se aproximar de um ponto é obtido substituindo diretamente x=a. No caso de função por partes, usamos a peça que corresponde à direção de aproximação: para o limite pela direita, usamos a expressão definida para x>3; para o limite pela esquerda, usamos a expressão definida para x\le3.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to 3^{+}} f(x).
Ao aproximar x de 3 pela direita usamos a peça válida para x>3, que é 8-2x. Como 8-2x é uma função linear (contínua), basta substituir x=3:
\lim_{x\to 3^{+}} f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(8-2x)=8-2\cdot 3=8-6=2.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to 3^{-}} f(x).
Ao aproximar x de 3 pela esquerda usamos a peça válida para x\le3, que é x^{2}-3x+2. Essa é um polinômio (contínuo), então substituímos x=3:
\lim_{x\to 3^{-}} f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}(x^{2}-3x+2)=3^{2}-3\cdot 3+2=9-9+2=2.

Passo 5

Comparando os limites laterais: ambos deram 2. Portanto o limite bilateral existe e é igual a 2. Além disso, o valor da função em x=3 é dado pela peça x^{2}-3x+2 (porque essa peça vale para x\le3), e esse valor é 2; assim f é contínua em x=3. Força aí — questão resolvida!

Resposta

a) \lim_{x\to 3^{+}} f(x)=2
b) \lim_{x\to 3^{-}} f(x)=2
c) \lim_{x\to 3} f(x)=2

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