Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{1}{\sqrt{e^{x}}}-\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\frac{1}{\sqrt{e^{x}}}-\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}.
Informações relevantes dadas:
\text{Termo 1: }\frac{1}{\sqrt{e^{x}}},\qquad \text{Termo 2: }\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}.
A tarefa é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro é mais fácil trabalhar escrevendo cada termo como potência (isso simplifica a aplicação das regras de derivação).
\frac{1}{\sqrt{e^{x}}}=(e^{x})^{-1/2}=e^{-x/2},
\frac{1}{\sqrt[5]{x^{3}}}=x^{-3/5}.
Portanto podemos reescrever
y=e^{-x/2}-x^{-3/5}.

Passo 3

Agora vamos lembrar as regras que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Regra da exponencial com função composta (chain rule): se u(x) é uma função, então
\frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u(x) é o expoente e u'(x) é a derivada desse expoente.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x} porque u(x)=2x e u'(x)=2.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}. Se n for negativo ou fracionário, a regra continua valendo.
Vamos aplicar essas duas regras às nossas duas parcelas.

Passo 4

Derivada do primeiro termo e^{-x/2}.
Aqui u(x)=-\tfrac{x}{2}. Então u'(x)=-\tfrac{1}{2}.
Aplicando a regra da exponencial:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x/2}\big)=\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x/2}.
Interpretação: multiplicamos a própria exponencial pelo coeficiente que surge da derivada do expoente.

Passo 5

Derivada do segundo termo -x^{-3/5}.
Aplique a regra da potência a x^{-3/5}:
\frac{d}{dx}\big(x^{-3/5}\big)=\left(-\frac{3}{5}\right)x^{-3/5-1}=\left(-\frac{3}{5}\right)x^{-8/5}.
Como no y esse termo aparece com sinal negativo, temos
\frac{d}{dx}\big(-x^{-3/5}\big)=-\left(-\frac{3}{5}\right)x^{-8/5}=\frac{3}{5}x^{-8/5}.
Nota didática: a conta do expoente ficou -\tfrac{3}{5}-1=-\tfrac{3}{5}-\tfrac{5}{5}=-\tfrac{8}{5}.

Passo 6

Juntando as duas derivadas obtidas:
y'=\left(-\frac{1}{2}\right)e^{-x/2}+\frac{3}{5}x^{-8/5}.
Se preferir ver em termos de radicais, usamos e^{-x/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e^{x}}} e x^{-8/5}=\dfrac{1}{x^{8/5}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^{8}}}, então uma forma equivalente é
y'=-\frac{1}{2\sqrt{e^{x}}}+\frac{3}{5x^{8/5}}.

Resposta

\displaystyle y'=-\frac{1}{2}e^{-x/2}+\frac{3}{5}x^{-8/5}

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