Use a prova por contradição para demostrar que:
Para todo \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}, se 2 \leq \mathrm{a}, então a \chi \mathrm{b} ou a \chi(\mathrm{b}+1)

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos a seguinte afirmação: para quaisquer a,b \in \mathbb{Z}, se 2 \leq a, então a \nmid b ou a \nmid (b+1).
Informações dadas que vamos usar: a e b são inteiros e há a hipótese numérica 2 \leq a.
O que devemos provar: pelo menos uma das duas afirmações é verdadeira — a não divide b ou a não divide b+1.

Passo 2

Vou usar prova por contradição. Uma explicação rápida e simples do método: para provar uma afirmação do tipo “P implica (Q ou R)”, assumimos P e a negação da conclusão, isto é, assumimos P e \neg(Q \vee R). A negação de uma disjunção é a conjunção das negações, então assumimos P e \neg Q e \neg R. Então procuramos uma contradição com P ou com axiomas conhecidos; ao chegar numa contradição concluímos que a negação da conclusão é impossível, logo a conclusão é verdadeira. Aqui, a conclusão é " a \nmid b ou a \nmid(b+1)". A negação será " a \mid b e a \mid(b+1)". Vamos assumir isso e partir pra contradição.

Passo 3

Assumimos, para obter contradição, que 2 \leq a e que tanto a divide b quanto a divide b+1. Em símbolos, assumimos
a\mid b \quad\text{e}\quad a\mid (b+1).
Vou agora usar a definição de divisibilidade.

Passo 4

Definição usada: dizer que a\mid b significa que existe um inteiro k tal que b = a k. Aplicando essa definição às duas hipóteses de divisibilidade, existem inteiros k e \ell tais que
b = a k
e
b+1 = a \ell.
Aqui k,\ell \in \mathbb{Z}.
Subtraindo a primeira igualdade da segunda (isso é uma técnica comum para explorar duas divisibilidades simultâneas), obtemos
(b+1) - b = a\ell - a k.
O lado esquerdo simplifica para 1. No lado direito, fatoramos a:
1 = a(\ell - k).

Passo 5

A igualdade 1 = a(\ell - k) mostra que a divide 1. Mais formalmente, existem inteiros (aqui \ell-k) cujo produto com a é 1. Pela propriedade dos inteiros, se um inteiro a divide 1 então |a| = 1; isto porque se 1 = a m com m\in\mathbb{Z}, tomando valores absolutos temos 1 = |a|\,|m| e os únicos divisores positivos de 1 são 1 mesmos, logo |a|=1.
Mas a hipótese inicial dizia 2 \leq a. Isso implica que a é um inteiro com magnitude pelo menos 2, ou seja |a|\ge 2. Isso contradiz o que obtivemos no passo anterior ( |a|=1). Portanto a suposição de que ambas as divisibilidades ocorriam leva a uma contradição.

Passo 6

Como a conjunção " a\mid b e a\mid(b+1)" é impossível sob a hipótese 2\le a, a negação dessa conjunção — que é " a\nmid b ou a\nmid(b+1)" — deve ser verdadeira. Assim, mostramos que, para quaisquer a,b\in\mathbb{Z} com 2\le a, vale que a\nmid b ou a\nmid(b+1).

Resposta

Para todo a,b\in\mathbb{Z}, se 2\le a então a\nmid b ou a\nmid(b+1).

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