Calcule as derivadas das funções:
y=(\sqrt{x+1}-1)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a função
y = \left(\sqrt{x+1}-1\right)^{3/2}
e pede para calcular a derivada dy/dx.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão interna é \sqrt{x+1}-1.
  • A função externa é uma potência com expoente 3/2.
  • Queremos a derivada em termos de x (não foi pedido ponto específico).

Passo 2

Estratégia (explicação do método que vamos usar, passo a passo e por que): vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia serve quando temos uma função composta y=f(g(x)). Ela diz que a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Vou decompor a função em uma “externa” e uma “interna” para aplicar essa regra limpinho. Não se assuste — é só dois passos repetidos: derivar a externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Definição das funções internas/externas. Seja
u(x)=\sqrt{x+1}-1=\left(x+1\right)^{1/2}-1
e
y(u)=u^{3/2}.
Assim y(x)=y(u(x)). Segundo a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 4

Derivar a função externa y(u)=u^{3/2}. Usamos a regra do poder: se h(z)=z^{n} então h'(z)=n z^{n-1}. Aplicando com n=3/2,
\frac{dy}{du}=\frac{3}{2}u^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}u^{1/2}.
Expliquei: u^{1/2} é a raiz quadrada de u.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=\left(x+1\right)^{1/2}-1. A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. A derivada de (x+1)^{1/2} é, pela regra do poder combinada com cadeia (a derivada de x+1 é 1):
\frac{d}{dx}\left(x+1\right)^{1/2}=\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{-1/2}.
E a derivada de -1 é 0. Portanto
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{-1/2}.

Passo 6

Agora multiplicamos conforme a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\left(\frac{3}{2}u^{1/2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\left(x+1\right)^{-1/2}\right).
Fazendo a multiplicação dos coeficientes e das potências,
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\,u^{1/2}\left(x+1\right)^{-1/2}.

Passo 7

Substituímos de volta u=\left(x+1\right)^{1/2}-1. Assim uma forma clara da derivada é
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\,\frac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)^{1/2}}{\sqrt{x+1}}.
Outra forma equivalente, juntando as raízes dentro de uma única raiz, é
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\sqrt{x+1}-1}{x+1}}.
Ambas são a mesma função, só escritas de maneiras diferentes.

Passo 8

Comentário sobre domínio (útil na prova): a função original exige x+1\ge0, isto é x\ge-1. A derivada também está definida para x>-1 (em x=-1 aparecem denominadores nulos). Então atenção: a expressão da derivada vale para x>-1. No ponto x=-1 a função vale y= (-1+1)^{1/4}=0 mas a derivada não é finita pela forma acima.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\,\frac{\bigl(\sqrt{x+1}-1\bigr)^{1/2}}{\sqrt{x+1}}

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