Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão interna é
. - A função externa é uma potência com expoente
. - Queremos a derivada em termos de
(não foi pedido ponto específico).
Passo 2
Estratégia (explicação do método que vamos usar, passo a passo e por que): vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia serve quando temos uma função composta
. Ela diz que a derivada é
Vou decompor a função em uma “externa” e uma “interna” para aplicar essa regra limpinho. Não se assuste — é só dois passos repetidos: derivar a externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da interna.
Passo 3
Definição das funções internas/externas. Seja
e
Assim
. Segundo a regra da cadeia,
Passo 4
Derivar a função externa
. Usamos a regra do poder: se
então
. Aplicando com
,
Expliquei:
é a raiz quadrada de
.
Passo 5
Derivar a função interna
. A derivada de uma soma/diferença é a soma/diferença das derivadas. A derivada de
é, pela regra do poder combinada com cadeia (a derivada de
é
):
E a derivada de
é
. Portanto
Passo 6
Agora multiplicamos conforme a regra da cadeia:
Fazendo a multiplicação dos coeficientes e das potências,
Passo 7
Substituímos de volta
. Assim uma forma clara da derivada é
Outra forma equivalente, juntando as raízes dentro de uma única raiz, é
Ambas são a mesma função, só escritas de maneiras diferentes.
Passo 8
Comentário sobre domínio (útil na prova): a função original exige
, isto é
. A derivada também está definida para
(em
aparecem denominadores nulos). Então atenção: a expressão da derivada vale para
. No ponto
a função vale
mas a derivada não é finita pela forma acima.