Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. A função que temos é
Informações relevantes: a função é uma razão (fração) entre duas expressões polinomiais de primeira ordem. O objetivo final é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Escolhendo o método: como a função é uma fração
, o caminho mais direto e didático é usar a regra do quociente. Essa regra é padrão e fácil de aplicar em provas sem complicação. (Alternativa: daria para reescrever como produto e usar produto+cadeia, mas a regra do quociente é mais curta aqui.)
Passo 3
Ensinando a regra do quociente: se tivermos
onde
e
são funções diferenciáveis, então a regra do quociente diz que
Explicando o que cada coisa significa:
-
é o numerador da fração; -
é o denominador; -
é a derivada do numerador; -
é a derivada do denominador; - o numerador da fórmula combina
e como ; - o denominador é sempre o quadrado de
, ou seja, .
Essa fórmula vem de aplicar a regra do produto a
e usando a regra da cadeia para
, mas não precisamos derivá-la agora — basta saber usá-la corretamente.
Passo 4
Identificando
e
na nossa função:
Passo 5
Calculando as derivadas de
e
:
- A derivada de
é
porque a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
.
- A derivada de
é
porque a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente com os valores encontrados:
Passo 7
Fazendo a álgebra do numerador passo a passo:
então
Passo 8
Substituindo a simplificação do numerador na expressão da derivada obtemos
Podemos escrever isso também como