Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{x+2}{3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. A função que temos é
y=\frac{x+2}{3x+4}.
Informações relevantes: a função é uma razão (fração) entre duas expressões polinomiais de primeira ordem. O objetivo final é encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Escolhendo o método: como a função é uma fração \dfrac{u(x)}{v(x)}, o caminho mais direto e didático é usar a regra do quociente. Essa regra é padrão e fácil de aplicar em provas sem complicação. (Alternativa: daria para reescrever como produto e usar produto+cadeia, mas a regra do quociente é mais curta aqui.)

Passo 3

Ensinando a regra do quociente: se tivermos
y=\frac{u(x)}{v(x)},
onde u e v são funções diferenciáveis, então a regra do quociente diz que
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Explicando o que cada coisa significa:
  • u(x) é o numerador da fração;
  • v(x) é o denominador;
  • u'(x) é a derivada do numerador;
  • v'(x) é a derivada do denominador;
  • o numerador da fórmula combina u' e v' como u'v-uv';
  • o denominador é sempre o quadrado de v, ou seja, [v(x)]^2.
Essa fórmula vem de aplicar a regra do produto a u(x)\cdot [v(x)]^{-1} e usando a regra da cadeia para [v(x)]^{-1}, mas não precisamos derivá-la agora — basta saber usá-la corretamente.

Passo 4

Identificando u e v na nossa função:
u(x)=x+2,
v(x)=3x+4.

Passo 5

Calculando as derivadas de u e v:
  • A derivada de u(x)=x+2 é
u'(x)=1,
porque a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de v(x)=3x+4 é
v'(x)=3,
porque a derivada de 3x é 3 e a de 4 é 0.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente com os valores encontrados:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(3x+4)-(x+2)\cdot 3}{(3x+4)^{2}}.

Passo 7

Fazendo a álgebra do numerador passo a passo:
1\cdot(3x+4)=3x+4,
(x+2)\cdot 3=3x+6,
então
3x+4-(3x+6)=(3x+4-3x-6)=(4-6)=-2.

Passo 8

Substituindo a simplificação do numerador na expressão da derivada obtemos
y'=\frac{-2}{(3x+4)^{2}}.
Podemos escrever isso também como
y'=-\dfrac{2}{(3x+4)^{2}}.

Resposta

y'=-\dfrac{2}{(3x+4)^{2}}

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