Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é escrita com potências e raiz quadrada; note que
. - O domínio natural aqui é
(em o denominador torna a expressão indefinida). - Queremos encontrar
, a derivada em termos de . - O enunciado não exige um método específico, então podemos escolher um caminho conveniente para facilitar as contas.
Passo 2
Motivação para o método: é mais simples simplificar a expressão algébrica antes de derivar. Vou reescrever o denominador fatorando uma potência de
:
Agora divido o numerador
por
:
Essa forma já é mais simples: temos uma razão de potências de
que fica mais manejável.
Passo 3
Troca de variável para simplificar ainda mais (substituição):
- Seja
. Então . - Explicando a ideia: ao usar
a função vira uma razão de polinômios em , o que facilita a derivação. - Derivada de
em relação a : pela regra de potência , logo
- Usaremos a regra da cadeia:
.
Passo 4
Reescrevendo
em função de
:
Agora calculamos
aplicando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
, então
onde
e
.
Aqui e
. Calculamos:
Aqui
Aplicando a fórmula:
Fazendo as contas no numerador:
Portanto
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para obter
:
Simplificando um fator
entre numerador e denominador:
Passo 6
Voltando à variável
substituindo
:
Multiplicando
obtém-se
, então uma forma alternativa e bem legível é
Observação: essa expressão está válida para
, que é o domínio onde a função original é bem definida.