Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{x^{2}}{x+\sqrt{x}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a derivada da função
y=\frac{x^{2}}{x+\sqrt{x}}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é escrita com potências e raiz quadrada; note que \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • O domínio natural aqui é x>0 (em x=0 o denominador x+\sqrt{x}=0 torna a expressão indefinida).
  • Queremos encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}, a derivada em termos de x.
  • O enunciado não exige um método específico, então podemos escolher um caminho conveniente para facilitar as contas.

Passo 2

Motivação para o método: é mais simples simplificar a expressão algébrica antes de derivar. Vou reescrever o denominador fatorando uma potência de x:
x+\sqrt{x}=x+x^{1/2}=x^{1/2}\bigl(x^{1/2}+1\bigr).
Agora divido o numerador x^{2} por x^{1/2}:
y=\frac{x^{2}}{x^{1/2}\bigl(x^{1/2}+1\bigr)}=\frac{x^{3/2}}{x^{1/2}+1}.
Essa forma já é mais simples: temos uma razão de potências de x que fica mais manejável.

Passo 3

Troca de variável para simplificar ainda mais (substituição):
  • Seja \;t=\sqrt{x}=x^{1/2}. Então \;x=t^{2}.
  • Explicando a ideia: ao usar \;t a função vira uma razão de polinômios em t, o que facilita a derivação.
  • Derivada de t em relação a x: pela regra de potência \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}, logo
\frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2t}.
  • Usaremos a regra da cadeia: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}.

Passo 4

Reescrevendo y em função de t:
y=\frac{t^{3}}{t+1}.
Agora calculamos \dfrac{dy}{dt} aplicando a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(t)/v(t), então
\frac{d}{dt}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'=du/dt e v'=dv/dt.
Aqui u(t)=t^{3} e v(t)=t+1. Calculamos:
u'(t)=3t^{2},\qquad v'(t)=1.
Aplicando a fórmula:
\frac{dy}{dt}=\frac{(3t^{2})(t+1)-t^{3}\cdot 1}{(t+1)^{2}}.
Fazendo as contas no numerador:
(3t^{2})(t+1)-t^{3}=3t^{3}+3t^{2}-t^{3}=2t^{3}+3t^{2}=t^{2}(2t+3).
Portanto
\frac{dy}{dt}=\frac{t^{2}(2t+3)}{(t+1)^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para obter \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{t^{2}(2t+3)}{(t+1)^{2}}\cdot\frac{1}{2t}.
Simplificando um fator t entre numerador e denominador:
\frac{dy}{dx}=\frac{t(2t+3)}{2(t+1)^{2}}.

Passo 6

Voltando à variável x substituindo t=\sqrt{x}:
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}\bigl(2\sqrt{x}+3\bigr)}{2\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^{2}}.
Multiplicando \sqrt{x}(2\sqrt{x}+3) obtém-se 2x+3\sqrt{x}, então uma forma alternativa e bem legível é
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3\sqrt{x}}{2\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^{2}}.
Observação: essa expressão está válida para x>0, que é o domínio onde a função original é bem definida.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x+3\sqrt{x}}{2\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^{2}}

Exercícios relacionados