Calcule as derivadas das funções:
y=4 x^{5 / 3}-3 x^{-2}+11 x

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=4x^{5/3}-3x^{-2}+11x e pede para calcular a derivada dessa função em relação a x.
Informações relevantes fornecidas: a função é soma de três termos — \displaystyle 4x^{5/3}, \displaystyle -3x^{-2} e \displaystyle 11x.
Pergunta que vamos responder: qual é \displaystyle \frac{dy}{dx}?

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • Regra do expoente (power rule): se \displaystyle f(x)=x^{n} com n qualquer real, então
f'(x)=n x^{n-1}.
Isto significa que para derivar uma potência você multiplica pelo expoente e reduz o expoente em uma unidade. Exemplo: a derivada de \displaystyle x^{3} é \displaystyle 3x^{2}.
  • Regra da constante multiplicativa: se \displaystyle g(x)=c\cdot h(x) com c constante, então
g'(x)=c\cdot h'(x).
Ou seja, a constante sai na frente da derivada.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(h_1(x)+h_2(x)\big)=h_1'(x)+h_2'(x).
  • Derivada de \displaystyle x: \displaystyle \frac{d}{dx}x=1.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \displaystyle 4x^{5/3}:
  • Aplicamos a regra da constante multiplicativa com c=4 e a regra do expoente com n=\tfrac{5}{3}.
  • A derivada é
4\cdot \frac{5}{3}\,x^{5/3-1}.
  • Calculando o produto de constantes e o novo expoente:
4\cdot \frac{5}{3}=\frac{20}{3},\qquad 5/3-1=\frac{2}{3}.
Portanto a derivada do primeiro termo é \displaystyle \frac{20}{3}x^{2/3}.

Passo 4

Derivando o segundo termo \displaystyle -3x^{-2}:
  • Aqui c=-3 e n=-2. Usamos as mesmas regras.
  • A derivada é
-3\cdot (-2)\,x^{-2-1}.
  • Calculando constantes e expoente:
-3\cdot (-2)=6,\qquad -2-1=-3.
Portanto a derivada do segundo termo é \displaystyle 6x^{-3}. (Opcional: podemos escrever \displaystyle 6x^{-3}=\frac{6}{x^{3}}.)

Passo 5

Derivando o terceiro termo \displaystyle 11x:
  • Sabemos que \displaystyle \frac{d}{dx}x=1 e há uma constante multiplicando ( 11).
  • Logo a derivada é \displaystyle 11\cdot 1=11.

Passo 6

Agora usamos a regra da soma: a derivada de y é a soma das derivadas dos três termos que calculamos nos passos anteriores. Não repito aqui a linha final para deixar a resposta final somente no campo indicado.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{20}{3}x^{2/3}+6x^{-3}+11

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