Calcule as derivadas das funções:
y=(3 x-5)\left(2 \mathrm{e}^{x}+7\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y=(3x-5)\left(2\mathrm{e}^{x}+7\right).
Informações dadas:
\text{A função é o produto de duas expressões: }(3x-5)\quad\text{e}\quad(2\mathrm{e}^{x}+7).çãéõ
O que nos pedem: calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque temos uma função que é produto de duas funções. A regra do produto diz:
(uv)' = u'v + uv',
onde u e v são funções de x, u' é a derivada de u e v' é a derivada de v. Isso significa: para derivar um produto, derivamos a primeira e multiplicamos pela segunda, depois somamos a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Identificamos as duas funções:
u(x)=3x-5,\qquad v(x)=2\mathrm{e}^{x}+7.
Agora calculamos as derivadas de cada uma, usando regras básicas:
  • Derivada de uma função linear ax+b é a. Então
u'(x)=3.
  • Derivada de \mathrm{e}^{x} é \mathrm{e}^{x}. Aplicando fator constante:
v'(x)=2\mathrm{e}^{x}.
Expliquei: no termo 2\mathrm{e}^{x} o 2 é constante e sai multiplicando; o +7 some na derivada porque derivada de constante é 0.

Passo 4

Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', substituímos u,u',v,v':
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo as expressões:
y' = 3\bigl(2\mathrm{e}^{x}+7\bigr) + (3x-5)\bigl(2\mathrm{e}^{x}\bigr).

Passo 5

Agora simplificamos passo a passo. Primeiro multiplicamos os termos simples:
3\bigl(2\mathrm{e}^{x}+7\bigr) = 6\mathrm{e}^{x} + 21,
(3x-5)\bigl(2\mathrm{e}^{x}\bigr) = 2\mathrm{e}^{x}(3x-5) = 6x\mathrm{e}^{x} - 10\mathrm{e}^{x}.
Somando as duas parcelas:
y' = \bigl(6\mathrm{e}^{x} + 21\bigr) + \bigl(6x\mathrm{e}^{x} - 10\mathrm{e}^{x}\bigr).
Agrupando termos com \mathrm{e}^{x}:
y' = 6x\mathrm{e}^{x} + (6\mathrm{e}^{x}-10\mathrm{e}^{x}) + 21 = 6x\mathrm{e}^{x} -4\mathrm{e}^{x} + 21.
Fatorando \mathrm{e}^{x} fica mais compacto:
y' = \mathrm{e}^{x}(6x-4) + 21.
Também podemos escrever fatorando 2:
y' = 2\mathrm{e}^{x}(3x-2) + 21.

Resposta

y'=\mathrm{e}^{x}(6x-4)+21

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