Calcule as derivadas das funções:
y=\left(\frac{3 x-2}{2 x+1}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\left(\frac{3x-2}{2x+1}\right)^{5}.
Informações dadas:
y=\left(\frac{3x-2}{2x+1}\right)^{5}
Não há outras restrições explicitadas, mas note que a expressão está definida apenas quando 2x+1\neq 0, isto é, para x\neq -\tfrac{1}{2}. A tarefa é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Vamos aplicar uma estratégia que facilita a conta: usar uma substituição interna. Definimos
u(x)=\frac{3x-2}{2x+1},
então
y=(u(x))^{5}.
Agora usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se y=(u(x))^{n} com n constante, então
y' = n\,(u(x))^{\,n-1}\,u'(x).
Aqui n=5, portanto, antes de tudo temos
y' = 5\,(u(x))^{4}\,u'(x).
Explicando as peças: u'(x) é a derivada da função interna u(x); precisamos calculá-la para completar y'.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Temos u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} com
v(x)=3x-2,\qquad w(x)=2x+1.
Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{(w(x))^{2}}.
Calculamos v' e w':
v'(x)=\frac{d}{dx}(3x-2)=3,\qquad w'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Substituindo na fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
3(2x+1)=6x+3,
(3x-2)\cdot 2=6x-4,
então
3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2=(6x+3)-(6x-4)=6x+3-6x+4=7.
Portanto
u'(x)=\frac{7}{(2x+1)^{2}}.

Passo 4

Voltemos à regra da cadeia combinando y' = 5\,(u(x))^{4}\,u'(x). Substituindo u(x)=\dfrac{3x-2}{2x+1} e u'(x)=\dfrac{7}{(2x+1)^{2}}, obtemos
y' = 5\left(\frac{3x-2}{2x+1}\right)^{4}\cdot\frac{7}{(2x+1)^{2}}.
Multiplicando os fatores numéricos e juntando potências do denominador:
y' = 35\cdot\frac{(3x-2)^{4}}{(2x+1)^{4}}\cdot\frac{1}{(2x+1)^{2}} =35\cdot\frac{(3x-2)^{4}}{(2x+1)^{6}}.
Assim ficamos com a expressão simplificada
y'=\frac{35(3x-2)^{4}}{(2x+1)^{6}},
válida para x\neq -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resumo do que fizemos e dicas rápidas para a prova:
  • Usei substituição u= parte interna e a regra da cadeia; essa é a forma padrão quando aparece uma potência de uma função.
  • Para derivar a parte interna racional usei a regra do quociente; sempre identifique v (numerador) e w (denominador) e calcule v' e w'.
  • Procure simplificações no numerador do quociente: aqui deu uma constante inesperada 7, o que deixa a expressão bem simples no fim.
  • Lembre-se do domínio: x\neq -\tfrac{1}{2}.

Resposta

y'=\frac{35(3x-2)^{4}}{(2x+1)^{6}}

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