Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas:
Não há outras restrições explicitadas, mas note que a expressão está definida apenas quando
, isto é, para
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Vamos aplicar uma estratégia que facilita a conta: usar uma substituição interna. Definimos
então
Agora usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se
com
constante, então
Aqui
, portanto, antes de tudo temos
Explicando as peças:
é a derivada da função interna
; precisamos calculá-la para completar
.
Passo 3
Agora calculamos
. Temos
com
Para derivar uma razão usamos a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
então
Calculamos
e
:
Substituindo na fórmula do quociente:
Agora desenvolvemos o numerador passo a passo:
então
Portanto
Passo 4
Voltemos à regra da cadeia combinando
. Substituindo
e
, obtemos
Multiplicando os fatores numéricos e juntando potências do denominador:
Assim ficamos com a expressão simplificada
válida para
.
Passo 5
Resumo do que fizemos e dicas rápidas para a prova:
- Usei substituição
parte interna e a regra da cadeia; essa é a forma padrão quando aparece uma potência de uma função. - Para derivar a parte interna racional usei a regra do quociente; sempre identifique
(numerador) e (denominador) e calcule e . - Procure simplificações no numerador do quociente: aqui deu uma constante inesperada
, o que deixa a expressão bem simples no fim. - Lembre-se do domínio:
.