Calcule as derivadas das funções:
y=\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right)
e pede para calcular a(s) derivada(s). Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é a função logarítmica natural aplicada à razão \dfrac{x}{x+1}.
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo, portanto o domínio da função é
\{x\in\mathbb{R}\mid \frac{x}{x+1}>0\} = (-\infty,-1)\cup(0,\infty).
  • Precisamos fornecer a derivada \dfrac{dy}{dx} nos pontos onde a função está definida.

Passo 2

Uma ferramenta útil é a identidade dos logaritmos
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B,
mas essa identidade só é válida quando A>0 e B>0 separadamente (porque \ln A e \ln B precisam existir). Aplicando isso à nossa função, se estivermos em pontos onde x>0 (nesses pontos tanto x quanto x+1 são positivos), podemos reescrever
y=\ln x - \ln(x+1).
Vou primeiro diferenciar nesta forma (válida quando x>0), porque é mais direto — depois eu faço a verificação por outro método que vale em todo o domínio dado, inclusive para x<-1.

Passo 3

Regra que usamos aqui: a derivada de \ln u em relação a x é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln u(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
No caso especial u(x)=x temos \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}. E para u(x)=x+1 temos \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1}.
Aplicando isso à expressão \displaystyle y=\ln x-\ln(x+1) (válida para x>0), obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora simplificamos a diferença de frações. Colocando o mesmo denominador x(x+1):
\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x(x+1)}-\frac{x}{x(x+1)}=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)}.
Portanto, para x>0 encontramos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(x+1)}.

Passo 5

Observação importante sobre domínio e validade da técnica: a reescrita y=\ln x-\ln(x+1) exigia x>0. Mas a função original \ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right) também existe para x<-1 (porque aí tanto x quanto x+1 são negativos e a razão é positiva). Logo, para garantir que a derivada encontrada vale em todo o domínio do problema, vamos derivar a forma original usando a regra da cadeia combinada com a regra do quociente — esse cálculo é válido sempre que x\neq -1 e x\neq 0.

Passo 6

Sea u(x)=\dfrac{x}{x+1}. Primeiro calculamos u'(x) pela regra do quociente. A regra do quociente diz que, para u=\dfrac{f}{g},
u'=\frac{f'g - fg'}{g^2}.
Aqui f(x)=x e g(x)=x+1, então f'(x)=1 e g'(x)=1. Assim
u'(x)=\frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia à função original y=\ln(u(x)):
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\dfrac{1}{(x+1)^2}}{\dfrac{x}{x+1}}.
Simplificando essa fração complexa:
\frac{\dfrac{1}{(x+1)^2}}{\dfrac{x}{x+1}}=\frac{1}{(x+1)^2}\cdot\frac{x+1}{x}=\frac{1}{x(x+1)}.
Esse resultado foi obtido sem assumir x>0; portanto ele vale em todo o domínio da função original, isto é, para x\in(-\infty,-1)\cup(0,\infty).

Passo 8

Resumo e verificação rápida: tanto pela decomposição em diferenças de log (quando x>0) quanto pela derivação direta com regra do quociente + cadeia (válida em todo o domínio), chegamos ao mesmo resultado simples
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(x+1)}.
Nota: a derivada não está definida em x=0 nem em x=-1, que são justamente os pontos fora do domínio.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(x+1)}
x\in(-\infty,-1)\cup(0,\infty)

Exercícios relacionados