Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) derivada(s). Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é a função logarítmica natural aplicada à razão
. - O argumento do logaritmo deve ser positivo, portanto o domínio da função é
- Precisamos fornecer a derivada
nos pontos onde a função está definida.
Passo 2
Uma ferramenta útil é a identidade dos logaritmos
mas essa identidade só é válida quando
e
separadamente (porque
e
precisam existir). Aplicando isso à nossa função, se estivermos em pontos onde
(nesses pontos tanto
quanto
são positivos), podemos reescrever
Vou primeiro diferenciar nesta forma (válida quando
), porque é mais direto — depois eu faço a verificação por outro método que vale em todo o domínio dado, inclusive para
.
Passo 3
Regra que usamos aqui: a derivada de
em relação a
é dada pela regra da cadeia:
No caso especial
temos
. E para
temos
.
Aplicando isso à expressão
(válida para
), obtemos
Passo 4
Agora simplificamos a diferença de frações. Colocando o mesmo denominador
:
Portanto, para
encontramos
Passo 5
Observação importante sobre domínio e validade da técnica: a reescrita
exigia
. Mas a função original
também existe para
(porque aí tanto
quanto
são negativos e a razão é positiva). Logo, para garantir que a derivada encontrada vale em todo o domínio do problema, vamos derivar a forma original usando a regra da cadeia combinada com a regra do quociente — esse cálculo é válido sempre que
e
.
Passo 6
Sea
. Primeiro calculamos
pela regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
e
, então
e
. Assim
Passo 7
Agora aplicamos a regra da cadeia à função original
:
Simplificando essa fração complexa:
Esse resultado foi obtido sem assumir
; portanto ele vale em todo o domínio da função original, isto é, para
.
Passo 8
Resumo e verificação rápida: tanto pela decomposição em diferenças de log (quando
) quanto pela derivação direta com regra do quociente + cadeia (válida em todo o domínio), chegamos ao mesmo resultado simples
Nota: a derivada não está definida em
nem em
, que são justamente os pontos fora do domínio.