Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes dadas:
- A expressão contém
, portanto consideramos a função para (domínio onde é real e não nula). - Precisamos fornecer
em termos de .
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por
. Lembre que
e que ao dividir potências de mesma base usamos a regra
. Aplicando isso:
Agora subtraímos os expoentes:
portanto
Passo 3
Agora usamos a regra básica de derivação para potências: se
com
qualquer (real), então
Aqui
representa o expoente da potência. Essa regra vale também para expoentes fracionários como
ou
. Exemplo rápido: a derivada de
é
.
Passo 4
Aplicamos a regra termo a termo à expressão
.
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Derivada do terceiro termo:
Passo 5
Somando os três resultados obtemos
Passo 6
Vamos escrever
como uma única fração mais simples. Fatoramos
(para evitar frações parciais):
Colocando em denominador comum
(multiplicando numerador e denominador por
):
Podemos fatorar o numerador:
Logo uma forma final conveniente é
Passo 7
Comentário rápido (para sua prova): escolhemos a estratégia de dividir por
e usar a regra da potência porque é direta e evita contas maiores. Dá para usar a regra do quociente também e chegar ao mesmo resultado, mas essa via é mais trabalhosa.