Calcule as derivadas das funções:
y=\frac{x^{2}-x+2}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x^{2}-x+2}{\sqrt{x}}
e pede para calcular a derivada y'. Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém \sqrt{x}, portanto consideramos a função para x>0 (domínio onde \sqrt{x} é real e não nula).
  • Precisamos fornecer y' em termos de x.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por \sqrt{x}. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2} e que ao dividir potências de mesma base usamos a regra x^{a}/x^{b}=x^{a-b}. Aplicando isso:
y = \frac{x^{2}}{x^{1/2}} - \frac{x}{x^{1/2}} + \frac{2}{x^{1/2}}
Agora subtraímos os expoentes:
y = x^{2-\tfrac{1}{2}} - x^{1-\tfrac{1}{2}} + 2x^{-\tfrac{1}{2}}
portanto
y = x^{3/2} - x^{1/2} + 2x^{-1/2}.

Passo 3

Agora usamos a regra básica de derivação para potências: se f(x)=x^{n} com n qualquer (real), então
f'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n representa o expoente da potência. Essa regra vale também para expoentes fracionários como 3/2 ou -1/2. Exemplo rápido: a derivada de x^{1/2} é \tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo à expressão y = x^{3/2} - x^{1/2} + 2x^{-1/2}.
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)=\frac{3}{2}x^{3/2-1}=\frac{3}{2}x^{1/2}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{1/2}\bigr)=-\frac{1}{2}x^{1/2-1}=-\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Derivada do terceiro termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-1/2}\bigr)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-1/2-1}=-x^{-3/2}.

Passo 5

Somando os três resultados obtemos
y'=\frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{1}{2}x^{-1/2}-x^{-3/2}.

Passo 6

Vamos escrever y' como uma única fração mais simples. Fatoramos x^{-3/2} (para evitar frações parciais):
y' = x^{-3/2}\left(\frac{3}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1\right).
Colocando em denominador comum 2x^{3/2} (multiplicando numerador e denominador por 2):
y'=\frac{3x^{2}-x-2}{2x^{3/2}}.
Podemos fatorar o numerador:
3x^{2}-x-2=(3x+2)(x-1).
Logo uma forma final conveniente é
y'=\frac{(3x+2)(x-1)}{2x^{3/2}}.

Passo 7

Comentário rápido (para sua prova): escolhemos a estratégia de dividir por \sqrt{x} e usar a regra da potência porque é direta e evita contas maiores. Dá para usar a regra do quociente também e chegar ao mesmo resultado, mas essa via é mais trabalhosa.

Resposta

y'=\frac{(3x+2)(x-1)}{2x^{3/2}}

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