Calcule as derivadas das funções:
y=\sqrt{2+\sqrt{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\sqrt{2+\sqrt{x-2}}.
Informações relevantes dadas:
y=(2+\sqrt{x-2})^{1/2}.
Observação importante: a expressão \sqrt{x-2} exige que x-2\ge 0, então a função está definida para x\ge 2. A derivada que vamos obter só será uma expressão válida para pontos onde as derivadas intermediárias existem (principalmente x>2; eu vou comentar sobre o caso x=2 depois).

Passo 2

Vamos identificar as funções compostas (passo essencial antes de aplicar regra da cadeia). Defino:
u(x)=2+\sqrt{x-2},
y(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
Assim y(x)=y(u(x)), ou seja, y é composição da função u(x) com a função t\mapsto t^{1/2}.
Regra que vamos usar (cadeia): se y=f(u) e u=g(x), então
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x).
Também precisamos da derivada da raiz quadrada: para uma função r(t)=\sqrt{t}=t^{1/2},
r'(t)=\frac{1}{2}t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Expliquei isso porque vamos aplicá-la duas vezes (uma para y(u)=u^{1/2} e outra para \sqrt{x-2}).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia ao par y(u)=u^{1/2} e u(x)=2+\sqrt{x-2}:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}u^{-1/2}\cdot u'(x).
Agora calculamos u'(x). Como u(x)=2+\sqrt{x-2}, a constante 2 some na derivada e resta a derivada de \sqrt{x-2}. Usando a fórmula da raiz:
\frac{d}{dx}\sqrt{x-2}=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}.
Portanto
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}.

Passo 4

Substituindo u e u'(x) na expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\big(2+\sqrt{x-2}\big)^{-1/2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}}.
Agora simplificamos os fatores:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{x-2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{x-2}}}.
Ou escrevendo de forma única no denominador,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4\sqrt{x-2}\,\sqrt{2+\sqrt{x-2}}}.
Comentário sobre domínio/validez: essa expressão para \dfrac{dy}{dx} é válida para x>2. Em x=2 a função y é definida ( y(2)=\sqrt{2}), mas a expressão da derivada apresenta divisão por \sqrt{x-2}=0, ou seja, a derivada não é finita em x=2 (não existe derivada finita; pode-se investigar derivada lateral, mas aqui fica o aviso).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4\sqrt{x-2}\,\sqrt{2+\sqrt{x-2}}}

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