Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
Observação importante: a expressão
exige que
, então a função está definida para
. A derivada que vamos obter só será uma expressão válida para pontos onde as derivadas intermediárias existem (principalmente
; eu vou comentar sobre o caso
depois).
Passo 2
Vamos identificar as funções compostas (passo essencial antes de aplicar regra da cadeia). Defino:
Assim
, ou seja,
é composição da função
com a função
.
Regra que vamos usar (cadeia): se
e
, então
Também precisamos da derivada da raiz quadrada: para uma função
,
Expliquei isso porque vamos aplicá-la duas vezes (uma para
e outra para
).
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia ao par
e
:
Agora calculamos
. Como
, a constante
some na derivada e resta a derivada de
. Usando a fórmula da raiz:
Portanto
Passo 4
Substituindo
e
na expressão de
:
Agora simplificamos os fatores:
Ou escrevendo de forma única no denominador,
Comentário sobre domínio/validez: essa expressão para
é válida para
. Em
a função
é definida (
), mas a expressão da derivada apresenta divisão por
, ou seja, a derivada não é finita em
(não existe derivada finita; pode-se investigar derivada lateral, mas aqui fica o aviso).