Calcule as derivadas das funções:
y=\left(3 x^{2}+5\right)^{3}(3 x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y=\left(3 x^{2}+5\right)^{3}(3 x-1)^{2}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • A função y é um produto de duas funções de x: u(x)=\left(3 x^{2}+5\right)^{3}e v(x)=(3 x-1)^{2}.
  • O objetivo é encontrar a derivada y'(x)=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, para duas funções u(x) e v(x),
(uv)' = u'v + uv'.
Explicando: u' significa a derivada de u em relação a x, e v' é a derivada de v. A regra do produto prova que derivar um produto é derivar a primeira mantendo a segunda e somar com a primeira mantendo a derivada da segunda.

Passo 3

Identificamos as duas funções:
u(x)=\left(3 x^{2}+5\right)^{3},\qquad v(x)=(3 x-1)^{2}.
Agora vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Cálculo de u'(x) usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
A regra da potência para uma função composta u(x)=[g(x)]^{n} é
u'(x)=n\,[g(x)]^{\,n-1}\cdot g'(x).
Aqui g(x)=3x^{2}+5 e n=3. Primeiro encontramos g'(x):
g'(x)=(3x^{2}+5)' = 6x.
Aplicando a fórmula:
u'(x)=3\,(3x^{2}+5)^{2}\cdot 6x.
Multiplicando os coeficientes:
u'(x)=18x\,(3x^{2}+5)^{2}.
Explicação rápida: aumentamos o expoente em -1 e multiplicamos pela derivada do interior 6x.

Passo 5

Cálculo de v'(x). Novamente usamos a regra da potência com h(x)=3x-1 e expoente 2:
v'(x)=2\,(3x-1)^{1}\cdot (3x-1)'.
A derivada do interior é (3x-1)'=3. Logo
v'(x)=2\,(3x-1)\cdot 3 = 6(3x-1).

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
y' = u'v + uv'.
Substituindo u',u,v':
y' = \bigl(18x\,(3x^{2}+5)^{2}\bigr)\cdot(3x-1)^{2} + \bigl((3x^{2}+5)^{3}\bigr)\cdot\bigl(6(3x-1)\bigr).
Essa é uma forma correta, mas dá para simplificar fatorando fatores comuns.

Passo 7

Vamos fatorar os fatores comuns. Observamos que ambos os termos têm fator (3x^{2}+5)^{2} e pelo menos um fator (3x-1), e também o número 6 é fator comum dos coeficientes. Fatorando:
y' = (3x^{2}+5)^{2}(3x-1)\Bigl[18x(3x-1) + 6(3x^{2}+5)\Bigr].
Agora fatoramos 6 dentro do colchete:
y' = 6\,(3x^{2}+5)^{2}(3x-1)\Bigl[3x(3x-1) + (3x^{2}+5)\Bigr].
Simplificando o termo dentro dos colchetes:
3x(3x-1) + (3x^{2}+5) = 9x^{2}-3x+3x^{2}+5 = 12x^{2}-3x+5.
Portanto a forma simplificada fica
y' = 6\,(3x^{2}+5)^{2}(3x-1)\bigl(12x^{2}-3x+5\bigr).

Passo 8

Recapitulando: temos uma forma direta (não fatorada)
y' = 18x(3x^{2}+5)^{2}(3x-1)^{2} + 6(3x^{2}+5)^{3}(3x-1),
e a forma fatorada e mais compacta
y' = 6(3x^{2}+5)^{2}(3x-1)(12x^{2}-3x+5).
Ambas são equivalentes; a segunda é útil para identificar zeros e simplificar contas.

Resposta

y'=6(3x^{2}+5)^{2}(3x-1)(12x^{2}-3x+5)

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