Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
Informações dadas e o que precisamos obter:
- A função
é um produto de duas funções de : e - O objetivo é encontrar a derivada
.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz que, para duas funções
e
,
Explicando:
significa a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
. A regra do produto prova que derivar um produto é derivar a primeira mantendo a segunda e somar com a primeira mantendo a derivada da segunda.
Passo 3
Identificamos as duas funções:
Agora vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Cálculo de
usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência.
A regra da potência para uma função composta é
A regra da potência para uma função composta
Aqui
e
. Primeiro encontramos
:
Aplicando a fórmula:
Multiplicando os coeficientes:
Explicação rápida: aumentamos o expoente em
e multiplicamos pela derivada do interior
.
Passo 5
Cálculo de
. Novamente usamos a regra da potência com
e expoente
:
A derivada do interior é
. Logo
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Essa é uma forma correta, mas dá para simplificar fatorando fatores comuns.
Passo 7
Vamos fatorar os fatores comuns. Observamos que ambos os termos têm fator
e pelo menos um fator
, e também o número
é fator comum dos coeficientes. Fatorando:
Agora fatoramos
dentro do colchete:
Simplificando o termo dentro dos colchetes:
Portanto a forma simplificada fica
Passo 8
Recapitulando: temos uma forma direta (não fatorada)
e a forma fatorada e mais compacta
Ambas são equivalentes; a segunda é útil para identificar zeros e simplificar contas.